삼각비
같은 예각을 가진 직각삼각형은 닮음이므로, 크기가 달라도 대응변의 비는 같습니다.
정의부터 표현과 조건까지
개념을 먼저 이해하기
삼각비의 뜻
한 예각의 크기가 같은 직각삼각형들은 서로 닮으므로 대응변의 비가 일정합니다. 이 비를 사인, 코사인, 탄젠트라 합니다.
각과 한 변만 알아도 직접 재기 어려운 다른 길이를 구할 수 있습니다.
같은 경사의 삼각형을 크게 그려도 높이와 밑변이 함께 같은 배율로 늘어 비는 변하지 않습니다.
- sin A=맞은편 변/빗변
- cos A=이웃한 변/빗변
- tan A=맞은편 변/이웃한 변
- 직각삼각형의 예각을 기준각으로 정합니다.
- 빗변은 항상 직각 맞은편, 맞은편·이웃한 변은 기준각에 따라 바뀝니다.
- 변 이름 표시
- 닮은 삼각형
- 비의 표
- 기준각이 바뀌어도 맞은편 변을 그대로 둠
- 기울어진 변을 무조건 빗변으로 봄
특수각의 삼각비
30°, 45°, 60°의 삼각비는 정삼각형과 직각이등변삼각형을 나누어 정확한 근호 값으로 구합니다.
계산기 없이 자주 쓰이는 각의 길이 비를 정확히 계산합니다.
한 변 2인 정삼각형을 반으로 자르면 1:√3:2, 한 변 1인 정사각형을 대각선으로 자르면 1:1:√2가 됩니다.
- sin30°=1/2, cos30°=√3/2, tan30°=1/√3
- sin45°=cos45°=√2/2, tan45°=1
- sin60°=√3/2, cos60°=1/2, tan60°=√3
- sin과 cos 값은 0과 1 사이입니다.
- tan은 빗변을 분모로 쓰지 않습니다.
- 1:√3:2 삼각형
- 1:1:√2 삼각형
- 특수각 표
- sin60°와 cos60°를 바꿈
- tan 값을 sin/cos 값처럼 1 이하라고 생각
삼각비의 활용
측정하려는 높이·거리와 알려진 변을 포함하는 직각삼각형을 만들고 알맞은 삼각비로 비례식을 세웁니다.
건물 높이, 그림자 길이, 경사로 길이처럼 직접 접근하기 어려운 거리를 간접 측정합니다.
시선의 각이나 햇빛의 각을 고정하면 실제 상황이 축척만 다른 직각삼각형이 됩니다.
- 높이=거리×tan(올려본 각)
- 빗변=높이/sin(기준각)
- 관측자의 눈높이가 있으면 마지막에 더하거나 뺍니다.
- 수평·수직·직각 조건을 그림에 먼저 표시합니다.
- 상황을 단순화한 직각삼각형
- 비례식
- 단위가 있는 길이
- 문장 그림의 모든 길이를 한 삼각형에 무리하게 넣음
- 눈높이를 누락
한국 수업·연구·학생 질문에서 확인
학생들이 실제로 어려워하는 지점
한국 중학교 삼각비 수업 사례에서 직접 다룬 혼동과 교수 설계 쟁점을 사용했습니다.
반복해서 나타나는 어려움
- sin·cos·tan의 분자와 분모를 외운 순서로만 기억해 기준각이 바뀌면 혼동합니다.
- 닮은 직각삼각형에서 크기가 달라도 같은 각의 변의 비가 일정하다는 핵심 연결을 놓치기 쉽습니다.
이렇게 배우면 연결이 쉽습니다
- 항상 기준각을 먼저 표시하고 빗변·높이·밑변을 그 각을 기준으로 다시 이름 붙입니다.
- 같은 각을 가진 크기 다른 삼각형 두 개를 직접 재서 비가 같은지 확인한 뒤 공식을 씁니다.
이 단원에서 직접 확인할 오류
- 빗변 오인
- sin·cos 분자 반대
- 특수각 값 암기 순서 혼동
삼각비끼리의 혼동과 “삼각형이 달라도 비가 일정하다”는 본질을 드러낼 탐구 기회의 부족을 수업 설계 쟁점으로 확인했습니다.
공공 교육자료EBSMath 중·고교 수학 시리즈어려운 용어를 일상 언어로 풀고, 중학교 핵심 개념을 이야기와 다양한 표현으로 연결하는 공개 자료입니다.
강의에서 확인한 난점과 설명 방식
링크는 검토한 자막 구간에서 바로 시작합니다. 직접 난점으로 확인되지 않은 영상은 설명 방식이나 개념 보충 자료로만 표시했습니다. 선정 영상 몇 편에서 확인한 정성 자료이며, 전체 학생의 난점 발생 빈도나 대표성을 뜻하지 않습니다.
개념이 문제로 바뀌는 과정
대표 예제
빗변이 5, 기준각의 맞은편 변이 3인 직각삼각형에서 sin A를 구하시오.
- sin A는 맞은편 변/빗변입니다.
- 주어진 길이를 대입하면 3/5입니다.
- 값이 0과 1 사이인지 확인합니다.
답: 3/5
tan A=3/4이고 A의 이웃한 변이 12일 때 맞은편 변의 길이를 구하시오.
- tan A=맞은편/이웃한 변입니다.
- x/12=3/4로 둡니다.
- 4x=36이므로 x=9입니다.
답: 9
높이 5 m인 기둥의 그림자가 생길 때 햇빛이 지면과 이루는 각이 30°이다. 그림자 길이는?
- 그림자 길이를 x라 하면 tan30°=5/x입니다.
- 1/√3=5/x이므로 x=5√3입니다.
- 길이 단위를 붙입니다.
답: 5√3 m
처음 보는 문제에서도 쓰는 순서
풀이 절차
- 1직각 표시를 찾고 그 맞은편을 빗변으로 표시합니다.
- 2기준각에 동그라미를 치고 아는 변과 구할 변이 함께 들어가는 삼각비를 고릅니다.
- 3비례식을 풀고, 길이와 삼각비의 범위가 자연스러운지 확인합니다.
틀린 이유를 다음 문제에 남기지 않기
오개념 교정
기준각이 바뀌었는데 맞은편 변과 이웃한 변을 그대로 두기
고치는 습관: 직각 표시를 찾고 그 맞은편을 빗변으로 표시합니다.빗변을 가장 기울어진 변으로 고르거나, 계산값이 1보다 큰 sin·cos를 그대로 두기
고치는 습관: 기준각에 동그라미를 치고 아는 변과 구할 변이 함께 들어가는 삼각비를 고릅니다.읽은 뒤 확인하기
혼자 공부하는 순서
01기준각에 따라 세 변의 역할을 표시할 수 있다.
02특수각 삼각비를 도형에서 유도할 수 있다.
03상황을 직각삼각형으로 바꾸어 길이를 계산할 수 있다.