통계
자료의 중심뿐 아니라 흩어진 정도까지 함께 비교합니다.
정의부터 표현과 조건까지
개념을 먼저 이해하기
대푯값과 사분위수
평균·중앙값·최빈값은 자료의 중심을 나타내는 대푯값입니다. 자료를 크기순으로 놓고 네 부분으로 나누는 경계가 제1·제2·제3사분위수이며 제2사분위수는 중앙값입니다.
자료 전체를 한 수로 요약하되 이상값이나 분포 모양에 따라 적절한 중심값을 선택합니다.
사분위수는 줄을 선 자료를 25%, 50%, 75% 지점에서 자르는 표시입니다.
- 평균=자료의 합/자료 수
- Q2=중앙값
- 사분위수 범위 IQR=Q3-Q1
- 사분위수를 구하기 전에 자료를 반드시 오름차순 정렬합니다.
- 자료 수가 홀수일 때 중앙값을 제외하고 아래·위 절반의 중앙값을 Q1,Q3로 구합니다.
- 정렬된 자료
- 도수분포표
- Q1·Q2·Q3 위치 표시
- 정렬하지 않고 가운데 위치를 선택
- 평균이 언제나 자료를 가장 잘 대표한다고 생각
상자그림과 자료의 퍼짐
상자그림은 최솟값, Q1, Q2, Q3, 최댓값의 다섯 수 요약을 한 그림에 나타냅니다. 상자의 길이는 IQR로 가운데 50% 자료의 퍼짐을 보여 줍니다.
자료가 많아도 두 집단의 중심과 퍼짐, 치우침을 빠르게 비교할 수 있습니다.
전체 자료를 네 구간에 자료 수가 비슷하게 들어가도록 접어 놓은 지도입니다. 선분 길이가 길수록 그 구간 값들이 더 퍼져 있습니다.
- 다섯 수 요약: 최솟값,Q1,Q2,Q3,최댓값
- IQR=Q3-Q1
- 범위=최댓값-최솟값
- 상자그림의 각 구간은 길이가 아니라 자료의 개수 비중이 약 25%입니다.
- 두 상자그림은 같은 눈금에서 비교합니다.
- 상자와 수염
- 같은 축 위 두 집단
- 사분위수 표
- 상자가 긴 쪽에 자료 개수가 더 많다고 해석
- 상자그림만으로 평균을 정확히 알 수 있다고 생각
산점도와 상관관계
두 변수의 값을 순서쌍으로 좌표평면에 찍은 그림이 산점도입니다. 한 변수가 커질 때 다른 변수도 대체로 커지면 양의 상관관계, 작아지면 음의 상관관계, 뚜렷한 경향이 없으면 상관관계가 없다고 합니다.
공부 시간과 점수처럼 두 특성이 함께 변하는 경향을 찾아 예측의 단서를 얻습니다.
점들이 오른쪽 위로 띠를 이루면 함께 증가하고, 오른쪽 아래로 띠를 이루면 반대로 움직입니다. 띠가 좁을수록 관계가 강합니다.
- 자료 한 개를 (x,y) 한 점으로 표시
- 오른쪽 위 경향=양의 상관
- 오른쪽 아래 경향=음의 상관
- 상관관계는 원인과 결과를 증명하지 않습니다.
- 이상값 하나와 축 눈금이 전체 인상을 왜곡할 수 있어 원자료와 함께 봅니다.
- 산점도
- 경향선
- 두 변수의 대응표
- 상관관계가 있으면 한 변수가 다른 변수의 원인이라고 단정
- 점 하나만 보고 전체 경향을 판단
한국 수업·연구·학생 질문에서 확인
학생들이 실제로 어려워하는 지점
학교 수학의 통계적 추론 연구를 바탕으로 자료 읽기와 결론 판단의 어려움을 정리했습니다.
반복해서 나타나는 어려움
- 대표값을 계산하고도 그 값이 자료 전체를 얼마나 잘 설명하는지 판단하지 못할 수 있습니다.
- 상관관계나 표본 결과를 곧바로 원인·모집단 전체의 사실로 넓혀 읽기 쉽습니다.
이렇게 배우면 연결이 쉽습니다
- 계산 뒤에 반드시 “이 수가 자료의 무엇을 말하는가”를 한 문장으로 씁니다.
- 그래프의 축·단위·표본·비교 기준을 먼저 확인한 뒤 결론의 범위를 제한합니다.
이 단원에서 직접 확인할 오류
- 홀수 자료에서 중앙값을 양쪽 절반에 다시 포함
- 상자 길이를 도수로 해석
- 상관관계와 인과관계 혼동
- 축 눈금과 이상값 무시
통계는 공식 계산보다 실제 자료에서 정보를 뽑고 타당한 결론을 판단하는 추론이 필요하다고 설명합니다.
수학교육 연구고등학생의 수학 교과서 인식과 활용고등학생은 교과서를 시험 대비에 중요하게 보지만 실제 자율 학습에는 제한적으로 활용한다는 인터뷰 결과를 보고했습니다.
강의에서 확인한 난점과 설명 방식
링크는 검토한 자막 구간에서 바로 시작합니다. 직접 난점으로 확인되지 않은 영상은 설명 방식이나 개념 보충 자료로만 표시했습니다. 선정 영상 몇 편에서 확인한 정성 자료이며, 전체 학생의 난점 발생 빈도나 대표성을 뜻하지 않습니다.
해당 자막 구간에서 ‘분산·표준편차·평균·편차’ 같은 핵심어를 중심으로 개념을 설명하는 순서를 확인했다. 이 구간은 설명법의 교육적 근거이며 학생 난점의 직접 관찰 근거로 사용하지 않는다.
공개 자막 구간 확인 · 해당 구간 보기 ↗[EBS 수학의 답] 산포도 - 분산과 표준편차해당 자막 구간에서 ‘분산·표준편차·편차·산포’ 같은 핵심어를 중심으로 개념을 설명하는 순서를 확인했다. 이 구간은 설명법의 교육적 근거이며 학생 난점의 직접 관찰 근거로 사용하지 않는다.
개념이 문제로 바뀌는 과정
대표 예제
자료 1,3,4,6,8,10,12의 중앙값과 Q1,Q3을 구하시오.
- 자료는 이미 오름차순이고 7개이므로 중앙값 Q2는 네 번째 값 6입니다.
- 중앙값을 제외한 아래 절반 1,3,4의 중앙값은 3이므로 Q1=3입니다.
- 위 절반 8,10,12의 중앙값은 10이므로 Q3=10입니다.
답: Q1=3, 중앙값=6, Q3=10
어떤 자료의 Q1=12, Q3=20일 때 사분위수 범위를 구하시오.
- 사분위수 범위는 가운데 50% 구간의 길이입니다.
- IQR=Q3-Q1을 사용합니다.
- 20-12=8입니다.
답: 8
산점도의 점들이 (1,2),(2,4),(3,6),(4,8)처럼 놓여 있다. 상관관계를 설명하시오.
- x가 커질수록 y도 함께 커집니다.
- 점들이 오른쪽 위로 매우 좁은 직선 띠를 이룹니다.
- 따라서 강한 양의 상관관계가 있습니다. 다만 이것만으로 인과관계를 결론내릴 수는 없습니다.
답: 강한 양의 상관관계
처음 보는 문제에서도 쓰는 순서
풀이 절차
- 1평균을 구합니다.
- 2각 자료의 편차와 편차 제곱을 표로 정리합니다.
- 3분산·표준편차를 구한 뒤 분포와 함께 해석합니다.
틀린 이유를 다음 문제에 남기지 않기
오개념 교정
편차의 합이 0인 것을 자료가 모두 같다는 뜻으로 보기
고치는 습관: 평균을 구합니다.분산과 표준편차의 단위를 같다고 보기
고치는 습관: 각 자료의 편차와 편차 제곱을 표로 정리합니다.읽은 뒤 확인하기
혼자 공부하는 순서
01자료를 정렬하고 중앙값·Q1·Q3·IQR을 구할 수 있다.
02상자그림에서 다섯 수 요약과 퍼짐을 읽고 두 집단을 비교할 수 있다.
03산점도에서 양·음·무상관과 강도를 설명할 수 있다.
04상관관계만으로 인과관계를 단정하지 않는다.