도형의 닮음
모양이 같고 크기만 다른 도형에서 대응 관계와 비율을 다룹니다.
정의부터 표현과 조건까지
개념을 먼저 이해하기
닮은 도형과 닮음비
한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소했을 때 다른 도형과 합동이 되면 두 도형은 닮았습니다.
직접 재기 어려운 길이를 비례로 구하고 모형·지도·사진의 크기 변화를 해석합니다.
모양은 유지되고 모든 길이에 같은 배율이 적용된 복사본입니다.
- 대응각의 크기는 같음
- 대응변의 길이의 비는 일정함
- 대응하는 꼭짓점 순서를 일관되게 정합니다.
- 비의 앞뒤 순서를 모든 변에서 같게 유지합니다.
- 닮음기호 △ABC∽△DEF
- 대응표
- 확대·축소 그림
- 넓이가 같아 보이면 닮았다고 판단
- 대응하지 않는 변끼리 비를 세움
삼각형의 닮음 조건과 평행선
두 삼각형은 AA, SAS, SSS 조건 중 하나를 만족하면 닮고, 삼각형의 한 변과 평행한 선분은 작은 닮은 삼각형을 만듭니다.
모든 각과 변을 확인하지 않고도 닮음을 확정하고 비례식을 세울 수 있습니다.
각 두 개가 정해지면 세 번째 각도 정해져 모양이 고정되고 크기만 달라질 수 있습니다.
- AA: 두 쌍의 대응각이 같음
- SAS: 끼인각 같고 그 양변 비 같음
- SSS: 세 대응변 비 같음
- SAS에서는 반드시 두 변 사이의 끼인각이어야 합니다.
- 평행 표시는 동위각·엇각을 통해 AA로 연결합니다.
- 같은 각 표시
- 대응변 비례식
- 평행선이 있는 삼각형
- 각 하나만 같으면 닮음이라 함
- SAS에서 끼인각이 아닌 각을 사용
길이비·넓이비·부피비
닮음비가 m:n이면 대응하는 길이비는 m:n, 넓이비는 m²:n², 부피비는 m³:n³입니다.
배율 변화가 길이뿐 아니라 재료의 양과 용량에 얼마나 크게 영향을 주는지 계산합니다.
넓이는 가로와 세로 두 방향에 배율이 적용되고, 부피는 세 방향에 적용됩니다.
- 길이비 m:n
- 넓이비 m²:n²
- 부피비 m³:n³
- 두 도형이 닮았다는 전제가 필요합니다.
- 어느 도형을 앞에 둔 비인지 끝까지 유지합니다.
- 격자 확대
- 단위 정사각형·정육면체 개수
- 비의 거듭제곱
- 길이비를 넓이비에 그대로 사용
- 부피비를 제곱으로 계산
한국 수업·연구·학생 질문에서 확인
학생들이 실제로 어려워하는 지점
기하 문제 해결 연구와 공개 학생 질문을 함께 봤습니다. 커뮤니티 글은 한 학생의 경험이므로 빈도 근거가 아니라 실제 표현의 참고 자료입니다.
반복해서 나타나는 어려움
- 그림에 보이는 값만 계산하려다 어떤 관계를 만들 보조선이 필요한지에서 막힙니다.
- 대수는 절차가 보이지만 도형은 처음 보는 배치에서 시작점을 못 찾는다는 학생 질문이 실제로 나타납니다.
이렇게 배우면 연결이 쉽습니다
- 계산 전에 주어진 조건을 그림에 표시하고, 찾고 싶은 관계를 만드는 선 하나를 후보로 그립니다.
- 도형 이름보다 평행·수직·같은 길이·같은 각을 먼저 읽고, 쓸 수 있는 정리를 옆에 적습니다.
이 단원에서 직접 확인할 오류
- 꼭짓점 대응 순서 오류
- SAS에서 끼인각 미확인
- 길이비와 넓이비 혼동
보조선을 떠올리는 학생 수와 걸린 시간을 실제로 측정해, 그림에서 필요한 관계를 새로 만드는 과정이 별도 학습 대상임을 보여 줍니다.
공개 커뮤니티중2 학생의 도형 내신 공부 질문대수는 절차대로 풀지만 도형은 처음 보는 문제에서 막힌다는 학생 질문입니다. 개인 경험이므로 연구 결과가 아니라 현장 목소리로만 참고합니다.
공공 교육자료EBSMath 중·고교 수학 시리즈어려운 용어를 일상 언어로 풀고, 중학교 핵심 개념을 이야기와 다양한 표현으로 연결하는 공개 자료입니다.
강의에서 확인한 난점과 설명 방식
링크는 검토한 자막 구간에서 바로 시작합니다. 직접 난점으로 확인되지 않은 영상은 설명 방식이나 개념 보충 자료로만 표시했습니다. 선정 영상 몇 편에서 확인한 정성 자료이며, 전체 학생의 난점 발생 빈도나 대표성을 뜻하지 않습니다.
개념이 문제로 바뀌는 과정
대표 예제
두 닮은 삼각형의 닮음비가 2:3이고 작은 삼각형의 대응변이 8 cm일 때 큰 삼각형의 대응변은?
- 작은:큰=2:3입니다.
- 8:x=2:3으로 둡니다.
- 2x=24이므로 x=12입니다.
답: 12 cm
△ABC에서 D는 AB 위, E는 AC 위이고 DE∥BC이다. AD=4, DB=2, AE=6일 때 EC를 구하시오.
- AB=4+2=6이고 △ADE∽△ABC입니다.
- AD/AB=AE/AC이므로 4/6=6/(6+EC)입니다.
- 2(6+EC)=18이므로 EC=3입니다.
답: 3
닮음비가 2:3인 두 도형에서 작은 도형의 넓이가 20 cm²일 때 큰 도형의 넓이는?
- 넓이비는 2²:3²=4:9입니다.
- 20:x=4:9입니다.
- 4x=180이므로 x=45입니다.
답: 45 cm²
처음 보는 문제에서도 쓰는 순서
풀이 절차
- 1같은 각을 표시해 대응점을 찾습니다.
- 2대응 순서대로 닮음식을 씁니다.
- 3같은 순서로 비례식을 세우고 단위를 확인합니다.
틀린 이유를 다음 문제에 남기지 않기
오개념 교정
대응하는 꼭짓점 순서를 맞추지 않기
고치는 습관: 같은 각을 표시해 대응점을 찾습니다.길이비를 그대로 넓이비에 쓰기
고치는 습관: 대응 순서대로 닮음식을 씁니다.읽은 뒤 확인하기
혼자 공부하는 순서
01닮음식의 대응 순서를 정확히 쓸 수 있다.
02AA·SAS·SSS 중 근거가 되는 조건을 고를 수 있다.
03길이비에서 넓이비와 부피비를 구할 수 있다.