소인수분해
자연수를 소수의 곱으로 쪼개어 수의 구조를 보는 단원입니다.
정의부터 표현과 조건까지
개념을 먼저 이해하기
소수와 합성수
1보다 큰 자연수 중 약수가 1과 자기 자신뿐인 수를 소수라 하고, 약수가 셋 이상인 수를 합성수라 합니다. 1은 소수도 합성수도 아닙니다.
소수는 더 작은 자연수의 곱으로 쪼갤 수 없는 기본 재료입니다. 자연수의 구조를 소수의 곱으로 표현하면 약수와 배수의 관계가 선명해집니다.
레고 작품을 가장 작은 블록까지 분해한다고 생각해 보세요. 합성수는 여러 블록으로 분해되지만 소수는 자연수의 곱이라는 기준에서는 더 쪼개지지 않습니다.
- 소수의 약수의 개수 = 2
- 합성수의 약수의 개수 ≥ 3
- 판단 대상은 1보다 큰 자연수여야 합니다.
- 2는 유일한 짝수 소수입니다.
- 어떤 수가 소수인지 확인할 때는 그 수의 제곱근 이하인 소수로 나누어지는지만 검사해도 됩니다.
- 나누어떨어지는 자연수가 1과 자기 자신뿐이다.
- p>1이고 p의 양의 약수 집합이 {1,p}이면 p는 소수
- 수를 같은 크기의 직사각형 배열로 놓았을 때 1×p 배열만 가능한지 살핍니다.
- 1은 약수가 하나뿐이므로 소수다. — 소수는 약수가 정확히 두 개인 1보다 큰 자연수입니다. 소수의 정의에서 “1보다 큰”과 “약수 두 개”를 함께 확인합니다.
소인수분해와 거듭제곱
합성수를 소수인 인수들만의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라고 합니다. 곱의 순서를 제외하면 소인수분해 결과는 하나로 정해집니다.
큰 수도 소인수와 지수만 알면 약수의 구조를 한눈에 볼 수 있습니다. 분수의 약분, 공약수와 공배수 문제의 공통 언어가 됩니다.
60을 계속 나누면 60=2×30=2×2×15=2²×3×5가 됩니다. 어느 소수부터 나누더라도 마지막 소수 묶음은 같습니다.
- 60=2²×3×5
- p가 소수일 때 pⁿ은 p를 n번 곱한 수
- 마지막 인수가 모두 소수인지 확인합니다.
- 같은 소수는 지수로 묶되 서로 다른 소수끼리는 합치지 않습니다.
- 결과를 다시 곱해 원래 수가 되는지 검산합니다.
- 자연수를 소수라는 기본 재료의 곱으로 쪼갠다.
- n=p₁ᵃ¹p₂ᵃ²⋯pₖᵃᵏ
- 가지 끝이 모두 소수가 될 때까지 인수분해 나무를 뻗습니다.
- 12=3×4도 소인수분해다. — 4는 합성수라서 분해가 끝나지 않았습니다. 12=2²×3처럼 모든 인수가 소수인지 확인합니다.
최대공약수와 최소공배수
최대공약수는 여러 수가 공통으로 가진 약수 중 가장 큰 수이고, 최소공배수는 여러 수의 공통인 배수 중 가장 작은 양의 수입니다.
같은 크기로 최대한 크게 나누는 상황은 최대공약수, 여러 주기가 처음 다시 만나는 상황은 최소공배수로 모델링할 수 있습니다.
두 수를 소인수 블록으로 펼치면 최대공약수는 양쪽에 공통으로 있는 블록만, 최소공배수는 두 수를 모두 만들 만큼 넉넉한 블록을 모은 것입니다.
- 지수의 작은 값들을 택해 곱하면 최대공약수
- 지수의 큰 값들을 택해 곱하면 최소공배수
- 두 자연수 a,b에 대해 gcd(a,b)×lcm(a,b)=a×b
- 비교하는 모든 소수를 빠짐없이 같은 열에 맞춥니다.
- 공통 소인수가 없는 경우 최대공약수는 1입니다.
- 문장제에서는 “최대한 크게”와 “처음 동시에”를 구분합니다.
- 공통 부분은 최대공약수, 모두를 포함하는 최소 묶음은 최소공배수
- 12=2²×3, 18=2×3² ⇒ gcd=2×3=6, lcm=2²×3²=36
- 소인수별 지수를 나란히 놓은 막대그래프로 작은 높이와 큰 높이를 비교합니다.
- 최소공배수는 공통 소인수만 곱한다. — 그러면 두 수 중 하나의 배수가 되지 않을 수 있습니다. 각 소수의 지수 중 큰 값을 선택해 두 수가 모두 나누어지는지 확인합니다.
한국 수업·연구·학생 질문에서 확인
학생들이 실제로 어려워하는 지점
EBS가 실제 중학생의 반복 질문을 모아 만든 공개 시리즈와 단원 내용을 대조했습니다.
반복해서 나타나는 어려움
- 용어를 외웠지만 “왜 그렇게 부르는지”를 말하지 못하면 새 표현에서 다시 막힙니다.
- 등호나 부호를 계산 지시로만 읽으면 식이 나타내는 관계를 놓치기 쉽습니다.
이렇게 배우면 연결이 쉽습니다
- 정의에 해당하는 예와 해당하지 않는 예를 한 쌍씩 직접 만듭니다.
- 기호를 읽기 전에 문장으로 뜻을 말하고, 같은 뜻을 수직선·식으로 옮깁니다.
이 단원에서 직접 확인할 오류
- 1도 소수라고 답한다.
- 최대공약수에서 지수의 큰 값을 택한다.
- 소인수분해 결과에 합성수를 남긴다.
소수·소인수·방정식·좌표·함수 등을 공식 암기보다 “뜻부터” 묻는 실제 질문 순서로 다룹니다.
공공 교육자료EBSMath 중·고교 수학 시리즈어려운 용어를 일상 언어로 풀고, 중학교 핵심 개념을 이야기와 다양한 표현으로 연결하는 공개 자료입니다.
강의에서 확인한 난점과 설명 방식
링크는 검토한 자막 구간에서 바로 시작합니다. 직접 난점으로 확인되지 않은 영상은 설명 방식이나 개념 보충 자료로만 표시했습니다. 선정 영상 몇 편에서 확인한 정성 자료이며, 전체 학생의 난점 발생 빈도나 대표성을 뜻하지 않습니다.
해당 자막 구간에서 ‘소수·인수’ 같은 핵심어를 중심으로 개념을 설명하는 순서를 확인했다. 이 구간은 설명법의 교육적 근거이며 학생 난점의 직접 관찰 근거로 사용하지 않는다.
공개 자막 구간 확인 · 해당 구간 보기 ↗※13분 순삭※ 인수분해의 세계에 오신 걸 환영합니다 I 완포자를 위한 정승제의 수학개념해당 자막 구간에서 ‘인수’ 같은 핵심어를 중심으로 개념을 설명하는 순서를 확인했다. 이 구간은 설명법의 교육적 근거이며 학생 난점의 직접 관찰 근거로 사용하지 않는다.
관련 단원에도 활용한 영상개념이 문제로 바뀌는 과정
대표 예제
84를 소인수분해하시오.
- 84를 2로 나누면 42, 다시 2로 나누면 21입니다.
- 21=3×7이고 2,3,7은 모두 소수입니다.
- 같은 소수 2를 거듭제곱으로 묶습니다.
답: 84=2²×3×7
72와 120의 최대공약수와 최소공배수를 구하시오.
- 72=2³×3², 120=2³×3×5로 소인수분해합니다.
- 작은 지수를 택하면 최대공약수는 2³×3=24입니다.
- 큰 지수를 택하면 최소공배수는 2³×3²×5=360입니다.
- 24×360=72×120으로 검산합니다.
답: 최대공약수 24, 최소공배수 360
가로 84 cm, 세로 126 cm인 직사각형 종이를 남김없이 가장 큰 정사각형으로 나누려 한다. 정사각형 한 변의 길이와 개수를 구하시오.
- 정사각형의 한 변은 84와 126을 모두 나누는 가장 큰 수입니다.
- 84=2²×3×7, 126=2×3²×7이므로 최대공약수는 2×3×7=42입니다.
- 가로로 84÷42=2개, 세로로 126÷42=3개 놓입니다.
- 전체 개수는 2×3=6개입니다.
답: 한 변 42 cm, 6개
처음 보는 문제에서도 쓰는 순서
풀이 절차
- 1작은 소수 2, 3, 5, 7 순서로 나눕니다.
- 2같은 소수는 거듭제곱으로 묶습니다.
- 3마지막에 다시 곱해 원래 수가 되는지 확인합니다.
틀린 이유를 다음 문제에 남기지 않기
오개념 교정
1을 소수로 착각하기
고치는 습관: 작은 소수 2, 3, 5, 7 순서로 나눕니다.지수까지 비교하지 않고 밑만 보고 최대공약수·최소공배수 정하기
고치는 습관: 같은 소수는 거듭제곱으로 묶습니다.읽은 뒤 확인하기
혼자 공부하는 순서
011, 소수, 합성수를 정의로 구별할 수 있다.
02소인수분해 뒤 다시 곱해 검산한다.
03최대공약수와 최소공배수에서 지수 선택 방향을 설명할 수 있다.
04문장 상황이 공약수 문제인지 공배수 문제인지 판단할 수 있다.