정수와 유리수
수의 크기와 부호를 수직선 위의 위치와 움직임으로 이해하는 단원입니다.
정의부터 표현과 조건까지
개념을 먼저 이해하기
양수·음수와 수의 분류
0보다 큰 수는 양수, 0보다 작은 수는 음수입니다. 정수는 자연수, 0, 음의 정수를 합친 수이고 유리수는 두 정수 a,b(b≠0)에 대해 a/b로 나타낼 수 있는 수입니다.
온도, 높이, 손익처럼 기준보다 반대 방향인 양을 함께 표현하려면 음수가 필요합니다. 수를 분류하면 어떤 계산 규칙을 적용할 수 있는지 알 수 있습니다.
0을 기준점으로 오른쪽·위·이익을 양의 방향, 왼쪽·아래·손실을 음의 방향이라고 정하면 반대 상황을 하나의 수직선에 놓을 수 있습니다.
- 정수 ⊂ 유리수
- 유리수={a/b | a,b는 정수, b≠0}
- 0은 양수도 음수도 아닙니다.
- 분모가 0인 분수는 수로 정의하지 않습니다.
- 유한소수와 순환소수는 유리수입니다.
- 기준보다 3 낮음은 -3, 기준보다 3 높음은 +3
- ⋯,-2,-1,0,1,2,⋯
- 0을 중심으로 방향과 거리를 표시한 수직선
- 0은 양수다. — 양수는 0보다 큰 수이며 0은 기준 자체입니다. 양수·0·음수를 수직선의 오른쪽·원점·왼쪽으로 구분합니다.
대소 관계와 절댓값
수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 큽니다. 수 a의 절댓값 |a|는 0에서 a까지의 거리이므로 항상 0 이상입니다.
부호만 보고는 음수의 크기를 바르게 비교하기 어렵습니다. 위치와 거리를 분리하면 대소 관계와 부호를 동시에 이해할 수 있습니다.
-8은 -3보다 숫자의 절댓값은 크지만 수직선에서 더 왼쪽이므로 더 작은 수입니다. 빚 8만 원이 빚 3만 원보다 재산 상태가 낮은 것과 같습니다.
- a>0이면 |a|=a
- a<0이면 |a|=-a
- |a|≥0
- 절댓값은 거리이므로 음수가 될 수 없습니다.
- 음수끼리는 절댓값이 큰 수가 더 작습니다.
- 서로 반대인 두 수의 절댓값은 같습니다.
- 절댓값은 부호를 지우는 규칙이 아니라 0으로부터의 거리
- |-5|=5, -8<-3
- 수직선에서 0과 각 수 사이 선분의 길이
- -8은 8이 3보다 크므로 -3보다 크다. — 음수의 대소는 수직선 위치로 판단해야 합니다. 두 수를 수직선에 찍어 오른쪽 수를 고릅니다.
정수와 유리수의 계산
덧셈은 수직선에서 이동을 합치는 연산이고, 뺄셈은 반대 부호의 수를 더하는 연산입니다. 곱셈·나눗셈은 부호를 먼저 정하고 절댓값끼리 계산합니다.
부호 규칙을 이동과 반복이라는 의미에서 이해하면 괄호가 많은 식에서도 규칙을 복원할 수 있습니다.
빼기 (-3)은 왼쪽으로 3만큼 가라는 움직임을 취소하는 것이므로 오른쪽으로 3만큼 가는 것과 같습니다.
- a-b=a+(-b)
- 같은 부호의 곱·몫은 양수, 다른 부호의 곱·몫은 음수
- (-a)²=a², -a²=-(a²)
- 나눗셈에서 0으로 나눌 수 없습니다.
- 괄호가 있는 음수 전체를 거듭제곱하는지 확인합니다.
- 혼합 계산은 거듭제곱, 곱셈·나눗셈, 덧셈·뺄셈 순입니다.
- 뺄셈은 반대 수의 덧셈으로 바꾼다.
- 5-(-3)=5+3=8
- 수직선 위 화살표를 차례로 이어 붙입니다.
- -2²=4이다. — 괄호가 없으면 거듭제곱은 2에만 적용되고 음의 부호는 나중에 적용됩니다. -2²=-(2²)=-4와 (-2)²=4를 곱셈으로 풀어 비교합니다.
한국 수업·연구·학생 질문에서 확인
학생들이 실제로 어려워하는 지점
EBS가 실제 중학생의 반복 질문을 모아 만든 공개 시리즈와 단원 내용을 대조했습니다.
반복해서 나타나는 어려움
- 용어를 외웠지만 “왜 그렇게 부르는지”를 말하지 못하면 새 표현에서 다시 막힙니다.
- 등호나 부호를 계산 지시로만 읽으면 식이 나타내는 관계를 놓치기 쉽습니다.
이렇게 배우면 연결이 쉽습니다
- 정의에 해당하는 예와 해당하지 않는 예를 한 쌍씩 직접 만듭니다.
- 기호를 읽기 전에 문장으로 뜻을 말하고, 같은 뜻을 수직선·식으로 옮깁니다.
이 단원에서 직접 확인할 오류
- 절댓값이 큰 음수를 더 크다고 한다.
- 마이너스 기호를 모두 없애면 절댓값이라고 한다.
- -2²와 (-2)²를 같다고 한다.
소수·소인수·방정식·좌표·함수 등을 공식 암기보다 “뜻부터” 묻는 실제 질문 순서로 다룹니다.
공공 교육자료EBSMath 중·고교 수학 시리즈어려운 용어를 일상 언어로 풀고, 중학교 핵심 개념을 이야기와 다양한 표현으로 연결하는 공개 자료입니다.
강의에서 확인한 난점과 설명 방식
링크는 검토한 자막 구간에서 바로 시작합니다. 직접 난점으로 확인되지 않은 영상은 설명 방식이나 개념 보충 자료로만 표시했습니다. 선정 영상 몇 편에서 확인한 정성 자료이며, 전체 학생의 난점 발생 빈도나 대표성을 뜻하지 않습니다.
해당 자막 구간에서 ‘유리수·정수’ 같은 핵심어를 중심으로 개념을 설명하는 순서를 확인했다. 이 구간은 설명법의 교육적 근거이며 학생 난점의 직접 관찰 근거로 사용하지 않는다.
공개 자막 구간 확인 · 해당 구간 보기 ↗정수와 유리수 사칙연산과 혼합계산 이렇게 하면 안 어려움 I 중3 수학, 고1 수학 I #정승제의50일수학해당 자막 구간에서 ‘음수’ 같은 핵심어를 중심으로 개념을 설명하는 순서를 확인했다. 이 구간은 설명법의 교육적 근거이며 학생 난점의 직접 관찰 근거로 사용하지 않는다.
개념이 문제로 바뀌는 과정
대표 예제
-5, 0, 3/2를 작은 수부터 나열하시오.
- 수직선에서 음수 -5는 0보다 왼쪽입니다.
- 3/2는 양수이므로 0보다 오른쪽입니다.
답: -5<0<3/2
-2²+(-2)²-|-3|의 값을 구하시오.
- -2²=-(2²)=-4입니다.
- (-2)²=4이고 |-3|=3입니다.
- -4+4-3=-3입니다.
답: -3
잠수함이 해수면 아래 12 m에서 출발해 7 m 올라간 뒤 10 m 내려갔다. 마지막 위치를 해수면 기준으로 나타내시오.
- 해수면 아래 12 m는 -12로 나타냅니다.
- 올라간 이동은 +7, 내려간 이동은 -10입니다.
- -12+7-10=-15입니다.
답: 해수면 아래 15 m(-15 m)
처음 보는 문제에서도 쓰는 순서
풀이 절차
- 1부호와 절댓값을 따로 봅니다.
- 2덧셈은 수직선 이동, 뺄셈은 더하기로 바꿔 생각합니다.
- 3계산 뒤 대략적인 부호와 크기가 맞는지 확인합니다.
틀린 이유를 다음 문제에 남기지 않기
오개념 교정
음수끼리 크기를 비교할 때 절댓값이 큰 수를 더 크다고 보기
고치는 습관: 부호와 절댓값을 따로 봅니다.괄호 앞의 마이너스를 괄호 안 첫 항에만 적용하기
고치는 습관: 덧셈은 수직선 이동, 뺄셈은 더하기로 바꿔 생각합니다.읽은 뒤 확인하기
혼자 공부하는 순서
01정수와 유리수의 포함 관계를 설명할 수 있다.
02음수의 대소를 수직선으로 판단할 수 있다.
03절댓값과 수 자체를 구별한다.
04괄호와 거듭제곱 순서를 지켜 계산한다.