평면도형
다각형과 원에서 각, 호의 길이, 넓이 사이의 관계를 다룹니다.
정의부터 표현과 조건까지
개념을 먼저 이해하기
다각형의 내각의 합
다각형의 이웃한 두 변이 이루는 내부의 각을 내각이라 합니다. n각형은 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 n-2개의 삼각형으로 나눌 수 있습니다.
각을 하나씩 재지 않고 변의 개수만으로 전체 내각의 합을 구할 수 있습니다.
다각형 안을 한 꼭짓점에서 부채처럼 삼각형으로 나누면 삼각형 한 개의 180°가 n-2번 모입니다.
- n각형의 내각의 합=(n-2)×180°
- 여기서는 볼록다각형을 다룹니다.
- n은 3 이상의 자연수입니다.
- 내각의 합과 한 내각의 크기를 구분합니다.
- 삼각형 n-2개의 각의 합
- S=(n-2)×180°
- 한 꼭짓점에서 이웃하지 않은 꼭짓점으로 대각선을 긋습니다.
- n각형은 삼각형 n개로 나뉘므로 내각의 합은 180n이다. — 한 꼭짓점에서 나누면 생기는 삼각형은 n-2개입니다. 사각형과 오각형에 직접 대각선을 그어 개수를 확인합니다.
외각과 정다각형
다각형 한 변과 이웃한 변의 연장선이 이루는 각 중 내각과 이웃한 각을 외각이라 합니다. 각 꼭짓점에서 같은 방향의 외각을 하나씩 택하면 합은 360°입니다.
외각은 다각형 둘레를 한 바퀴 돌 때 방향을 튼 양입니다. 정다각형의 변 개수와 각을 간단히 연결합니다.
다각형의 변을 따라 걸으면 출발 방향으로 돌아오기까지 몸이 정확히 한 바퀴, 즉 360° 회전합니다.
- 외각의 합=360°
- 정n각형의 한 외각=360°/n
- 한 내각=180°-한 외각
- 각 꼭짓점에서 같은 방향의 외각을 하나씩 선택합니다.
- 한 외각이 모두 같은 공식은 정다각형에서만 씁니다.
- 내각과 이웃한 외각의 합은 180°입니다.
- 둘레를 걸으며 방향을 튼 각의 총합
- 정n각형: E=360°/n
- 각 꼭짓점에 회전 화살표를 같은 방향으로 표시합니다.
- 모든 다각형의 외각은 각각 같은 크기다. — 합이 360°일 뿐, 각 외각의 크기는 다를 수 있습니다. “정다각형” 조건이 있을 때만 360°를 n으로 나눕니다.
원과 부채꼴
두 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 부분을 부채꼴이라 합니다. 같은 원에서 호의 길이와 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 비례합니다.
원 전체 중 얼마만큼을 차지하는지 각도의 비로 바꾸면 곡선의 길이와 넓이를 계산할 수 있습니다.
360°짜리 피자 한 판에서 중심각 90° 조각은 전체의 1/4이므로 호의 길이와 넓이도 각각 전체의 1/4입니다.
- 호의 길이 l=2πr×θ/360°
- 부채꼴 넓이 S=πr²×θ/360°
- θ는 중심각입니다.
- 지름이 주어지면 반지름으로 바꿉니다.
- 호의 길이는 길이 단위, 넓이는 제곱 단위를 씁니다.
- 원 전체에서 중심각이 차지하는 비율만큼
- θ:360°=l:2πr=S:πr²
- 원 전체를 같은 중심각의 조각으로 나눕니다.
- 반지름 6인 원의 둘레는 6π이다. — 원의 둘레는 지름×π=2πr입니다. 주어진 값이 반지름인지 지름인지 표시한 뒤 전체 원 공식을 먼저 씁니다.
한국 수업·연구·학생 질문에서 확인
학생들이 실제로 어려워하는 지점
기하 문제 해결 연구와 공개 학생 질문을 함께 봤습니다. 커뮤니티 글은 한 학생의 경험이므로 빈도 근거가 아니라 실제 표현의 참고 자료입니다.
반복해서 나타나는 어려움
- 그림에 보이는 값만 계산하려다 어떤 관계를 만들 보조선이 필요한지에서 막힙니다.
- 대수는 절차가 보이지만 도형은 처음 보는 배치에서 시작점을 못 찾는다는 학생 질문이 실제로 나타납니다.
이렇게 배우면 연결이 쉽습니다
- 계산 전에 주어진 조건을 그림에 표시하고, 찾고 싶은 관계를 만드는 선 하나를 후보로 그립니다.
- 도형 이름보다 평행·수직·같은 길이·같은 각을 먼저 읽고, 쓸 수 있는 정리를 옆에 적습니다.
이 단원에서 직접 확인할 오류
- 내각의 합을 180n으로 계산한다.
- 정다각형 조건 없이 외각을 똑같이 나눈다.
- 반지름과 지름을 바꿔 쓴다.
보조선을 떠올리는 학생 수와 걸린 시간을 실제로 측정해, 그림에서 필요한 관계를 새로 만드는 과정이 별도 학습 대상임을 보여 줍니다.
공개 커뮤니티중2 학생의 도형 내신 공부 질문대수는 절차대로 풀지만 도형은 처음 보는 문제에서 막힌다는 학생 질문입니다. 개인 경험이므로 연구 결과가 아니라 현장 목소리로만 참고합니다.
공공 교육자료EBSMath 중·고교 수학 시리즈어려운 용어를 일상 언어로 풀고, 중학교 핵심 개념을 이야기와 다양한 표현으로 연결하는 공개 자료입니다.
강의에서 확인한 난점과 설명 방식
링크는 검토한 자막 구간에서 바로 시작합니다. 직접 난점으로 확인되지 않은 영상은 설명 방식이나 개념 보충 자료로만 표시했습니다. 선정 영상 몇 편에서 확인한 정성 자료이며, 전체 학생의 난점 발생 빈도나 대표성을 뜻하지 않습니다.
개념이 문제로 바뀌는 과정
대표 예제
칠각형의 내각의 합을 구하시오.
- 칠각형은 한 꼭짓점에서 7-2=5개의 삼각형으로 나뉩니다.
- 5×180°=900°입니다.
답: 900°
한 외각의 크기가 24°인 정다각형의 변의 개수를 구하시오.
- 정다각형의 외각의 합은 360°입니다.
- 모든 외각이 같으므로 변의 개수는 360÷24=15입니다.
답: 15개
반지름이 6 cm이고 중심각이 120°인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하시오.
- 중심각의 비는 120/360=1/3입니다.
- 호의 길이는 2π×6×1/3=4π cm입니다.
- 넓이는 π×6²×1/3=12π cm²입니다.
답: 호의 길이 4π cm, 넓이 12π cm²
처음 보는 문제에서도 쓰는 순서
풀이 절차
- 1전체 도형에서 필요한 부분의 비율을 찾습니다.
- 2단위와 반지름을 확인합니다.
- 3각도 비율을 호의 길이 또는 넓이에 곱합니다.
틀린 이유를 다음 문제에 남기지 않기
오개념 교정
부채꼴 공식에서 지름과 반지름을 혼동하기
고치는 습관: 전체 도형에서 필요한 부분의 비율을 찾습니다.정다각형 한 내각과 내각의 합을 혼동하기
고치는 습관: 단위와 반지름을 확인합니다.읽은 뒤 확인하기
혼자 공부하는 순서
01내각의 합 공식을 삼각형 분할로 설명한다.
02외각의 합을 한 바퀴 회전과 연결한다.
03정다각형 조건을 확인한다.
04부채꼴에서 중심각 비와 단위를 확인한다.