기본도형
점·선·각의 관계와 평행선에서 생기는 각을 정확한 말과 기호로 다룹니다.
정의부터 표현과 조건까지
개념을 먼저 이해하기
점·선·면과 각
선분은 두 끝점 사이의 부분, 반직선은 한 끝점에서 한쪽으로 뻗는 부분, 직선은 양쪽으로 끝없이 뻗는 선입니다. 각은 한 점에서 시작하는 두 반직선으로 이루어집니다.
도형을 정확한 이름과 기호로 표현해야 그림이 달라져도 같은 관계를 추론할 수 있습니다.
선분은 양 끝이 묶인 줄, 반직선은 손전등 빛, 직선은 양쪽 끝이 보이지 않는 길로 생각할 수 있습니다.
- ∠AOB에서 꼭짓점은 O
- 맞꼭지각의 크기는 같다
- 각 이름의 가운데 글자가 꼭짓점입니다.
- 그림이 비슷해 보여도 표시나 조건 없이 수직·평행을 가정하지 않습니다.
- 선분의 길이와 선분 자체를 구분합니다.
- 두 반직선 사이 벌어진 정도가 각
- 선분 AB, 반직선 AB, 직선 AB, ∠AOB
- 끝점 표시 개수와 화살표 방향으로 세 선을 구분합니다.
- ∠ABC와 ∠BAC는 글자가 같으므로 같은 각이다. — 가운데 글자가 각각 B와 A여서 꼭짓점이 다릅니다. 각 기호를 읽을 때 가운데 글자에 동그라미를 칩니다.
위치 관계와 평행선의 각
한 평면에서 만나지 않는 두 직선은 평행입니다. 평행한 두 직선을 한 직선이 가로지를 때 동위각과 엇각은 각각 같습니다.
직접 재지 않은 각도 평행이라는 구조만으로 구할 수 있으며, 이후 도형 성질을 정당화하는 근거가 됩니다.
평행한 철길을 비스듬한 길이 가로지르면 같은 방향에 놓인 모서리의 벌어진 정도가 반복됩니다.
- l∥m ⇒ 동위각의 크기가 같음
- l∥m ⇒ 엇각의 크기가 같음
- 일직선 위 각의 합=180°
- 두 직선이 평행이라는 조건이 있어야 동위각·엇각의 같음을 사용합니다.
- 동위각과 엇각은 각의 크기 관계가 아니라 위치 관계의 이름입니다.
- 공간에서 만나지 않는 두 직선은 꼬인 위치일 수도 있습니다.
- 평행한 두 선을 같은 횡단선이 지날 때 반복되는 각
- l∥m, ∠1=∠2
- F 모양은 동위각, Z 모양은 엇각으로 위치를 확인합니다.
- 같아 보이는 각은 동위각이다. — 동위각은 두 교점에서 같은 상대적 위치에 있는 각입니다. 먼저 두 평행선과 하나의 횡단선을 색으로 구분합니다.
작도와 삼각형의 합동
눈금 없는 자와 컴퍼스로 조건을 만족하는 도형을 그리는 것을 작도라 합니다. 모양과 크기가 완전히 같아 포개어지는 두 도형은 합동입니다.
주어진 몇 가지 길이와 각만으로 삼각형이 하나로 정해지는 조건을 알면 모든 변과 각을 재지 않고도 두 도형의 같음을 보일 수 있습니다.
세 변 길이를 고정하면 세 막대가 만드는 삼각형의 모양은 정해집니다. 컴퍼스의 두 원이 만나는 점이 세 번째 꼭짓점을 결정합니다.
- SSS: 세 대응변의 길이가 각각 같음
- SAS: 두 대응변과 그 끼인각이 각각 같음
- ASA: 한 대응변과 그 양 끝각이 각각 같음
- 대응하는 꼭짓점 순서를 맞춰 합동 기호를 씁니다.
- SAS의 각은 반드시 두 변 사이의 끼인각입니다.
- AAA는 크기까지 정하지 못하므로 합동 조건이 아닙니다.
- 포개었을 때 완전히 일치한다.
- △ABC≡△DEF이면 A↔D, B↔E, C↔F
- 같은 변에는 같은 눈금, 같은 각에는 같은 호 표시를 합니다.
- 세 각이 각각 같으면 두 삼각형은 합동이다. — 각이 같아도 크기가 다른 닮은 삼각형이 가능합니다. 합동에는 적어도 한 변의 길이 정보가 필요한지 확인합니다.
한국 수업·연구·학생 질문에서 확인
학생들이 실제로 어려워하는 지점
기하 문제 해결 연구와 공개 학생 질문을 함께 봤습니다. 커뮤니티 글은 한 학생의 경험이므로 빈도 근거가 아니라 실제 표현의 참고 자료입니다.
반복해서 나타나는 어려움
- 그림에 보이는 값만 계산하려다 어떤 관계를 만들 보조선이 필요한지에서 막힙니다.
- 대수는 절차가 보이지만 도형은 처음 보는 배치에서 시작점을 못 찾는다는 학생 질문이 실제로 나타납니다.
이렇게 배우면 연결이 쉽습니다
- 계산 전에 주어진 조건을 그림에 표시하고, 찾고 싶은 관계를 만드는 선 하나를 후보로 그립니다.
- 도형 이름보다 평행·수직·같은 길이·같은 각을 먼저 읽고, 쓸 수 있는 정리를 옆에 적습니다.
이 단원에서 직접 확인할 오류
- 각 이름의 첫 글자를 꼭짓점이라 한다.
- 그림만 보고 평행을 가정한다.
- AAA를 합동 조건으로 고른다.
보조선을 떠올리는 학생 수와 걸린 시간을 실제로 측정해, 그림에서 필요한 관계를 새로 만드는 과정이 별도 학습 대상임을 보여 줍니다.
공개 커뮤니티중2 학생의 도형 내신 공부 질문대수는 절차대로 풀지만 도형은 처음 보는 문제에서 막힌다는 학생 질문입니다. 개인 경험이므로 연구 결과가 아니라 현장 목소리로만 참고합니다.
공공 교육자료EBSMath 중·고교 수학 시리즈어려운 용어를 일상 언어로 풀고, 중학교 핵심 개념을 이야기와 다양한 표현으로 연결하는 공개 자료입니다.
강의에서 확인한 난점과 설명 방식
링크는 검토한 자막 구간에서 바로 시작합니다. 직접 난점으로 확인되지 않은 영상은 설명 방식이나 개념 보충 자료로만 표시했습니다. 선정 영상 몇 편에서 확인한 정성 자료이며, 전체 학생의 난점 발생 빈도나 대표성을 뜻하지 않습니다.
개념이 문제로 바뀌는 과정
대표 예제
∠ABC에서 꼭짓점을 말하시오.
- 각 이름의 가운데 글자를 확인합니다.
- 가운데 글자는 B입니다.
답: 점 B
평행한 두 직선을 한 직선이 가로지를 때 한 엇각이 68°이다. 그와 엇각인 각의 크기를 구하시오.
- 두 직선이 평행이라는 조건을 확인합니다.
- 평행선에서 엇각의 크기는 같습니다.
답: 68°
AB=DE, BC=EF, ∠B=∠E일 때 △ABC와 △DEF가 합동인지 판단하시오. 단, ∠B와 ∠E는 각각 표시된 두 변의 끼인각이다.
- AB와 DE, BC와 EF라는 두 쌍의 대응변이 같습니다.
- 그 두 변 사이의 끼인각 ∠B와 ∠E가 같습니다.
- SAS 합동 조건이 성립하고 대응 순서 A↔D, B↔E, C↔F입니다.
답: △ABC≡△DEF (SAS 합동)
처음 보는 문제에서도 쓰는 순서
풀이 절차
- 1주어진 평행 표시와 각 표시를 찾습니다.
- 2같은 각에 동일한 기호를 적습니다.
- 3일직선 180°와 한 점 둘레 360°를 이용합니다.
틀린 이유를 다음 문제에 남기지 않기
오개념 교정
그림이 비슷해 보인다는 이유만으로 평행이라고 가정하기
고치는 습관: 주어진 평행 표시와 각 표시를 찾습니다.동위각과 엇각의 위치를 그림 방향으로만 외우기
고치는 습관: 같은 각에 동일한 기호를 적습니다.읽은 뒤 확인하기
혼자 공부하는 순서
01직선·반직선·선분을 기호와 그림으로 구분한다.
02평행 조건을 확인한 뒤 동위각·엇각을 사용한다.
03자와 컴퍼스의 역할을 설명한다.
04SSS·SAS·ASA에서 대응 순서와 조건을 정확히 읽는다.