일차방정식
등식의 균형을 유지하면서 미지수의 값을 찾는 과정입니다.
정의부터 표현과 조건까지
개념을 먼저 이해하기
방정식과 해
문자의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 방정식이라 합니다. 방정식을 참이 되게 하는 문자의 값을 해 또는 근이라 합니다.
모르는 값을 직접 알 수 없어도 그 값이 만족해야 하는 관계를 식으로 세워 역으로 찾을 수 있습니다.
자물쇠에 맞는 열쇠를 찾듯, 후보 값을 식에 넣어 양변이 같아지는지 확인합니다.
- ax+b=0 (a≠0)의 해 x=-b/a
- 일차방정식에서는 일차항의 계수 a가 0이 아니어야 합니다.
- 구한 값은 원래 식 양변에 대입해 검산합니다.
- 등식이라는 모양만 보고 모두 방정식이라 하지 않습니다.
- 양변을 같게 만드는 미지수를 찾는다.
- 2x+1=7 ⇒ x=3
- 양팔저울의 양쪽 무게가 같은 상태
- 등호가 있는 식은 모두 항상 참이다. — 방정식은 특정한 값에서만 참일 수 있습니다. 서로 다른 두 값을 대입해 참·거짓이 달라지는지 확인합니다.
등식의 성질과 풀이
등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나, 같은 수를 곱해도 등식은 유지됩니다. 0이 아닌 같은 수로 양변을 나누어도 유지됩니다.
해를 바꾸지 않으면서 미지수만 한쪽에 남기는 정당한 근거입니다. 이항은 이 성질을 짧게 표현한 결과입니다.
균형 잡힌 저울 양쪽에서 같은 추를 빼도 균형은 유지됩니다. 한쪽에만 연산하면 균형이 깨집니다.
- a=b ⇒ a+c=b+c
- a=b ⇒ ac=bc
- a=b, c≠0 ⇒ a/c=b/c
- 나눌 수는 0이 아니어야 합니다.
- 분모를 없앨 때 양변의 모든 항에 최소공배수를 곱합니다.
- 괄호를 풀 때 분배법칙을 모든 항에 적용합니다.
- 양쪽에 똑같은 일을 한다.
- 3x-5=7 ⇒ 3x=12 ⇒ x=4
- 저울 양쪽에서 같은 추를 제거하는 그림
- 이항하면 부호가 이유 없이 바뀐다. — 실제로는 양변에 같은 항을 더하거나 뺀 것입니다. 한동안 이항 대신 양변에 수행한 연산을 직접 적습니다.
문장제의 모델링
문장 속 모르는 양을 문자로 정하고, 서로 같은 두 양을 찾아 방정식으로 표현한 뒤 해석하는 과정입니다.
거리·속력·시간, 나이, 가격처럼 서로 다른 상황도 관계를 등식으로 표현하면 같은 풀이 원리를 사용할 수 있습니다.
문장을 바로 계산하려 하지 말고 “왼쪽 이야기의 양=오른쪽 이야기의 양”이라는 저울 두 접시로 나눕니다.
- 거리=속력×시간
- 총금액=한 개 가격×개수
- 연속한 두 정수: x, x+1
- 문자가 무엇과 어떤 단위를 뜻하는지 먼저 선언합니다.
- 해가 문제 상황의 범위에 맞는지 확인합니다.
- 방정식의 해와 문제의 답이 같은지 단위를 포함해 판단합니다.
- 두 방식으로 나타낸 같은 양을 등호로 연결한다.
- 3x+500=5000
- 선분도나 표에서 같은 전체량을 두 방법으로 표시합니다.
- 방정식의 해가 나오면 문장 조건과 상관없이 답이다. — 길이의 음수나 사람 수의 분수처럼 상황에 맞지 않을 수 있습니다. 마지막에 단위와 가능한 값의 범위를 문장으로 확인합니다.
한국 수업·연구·학생 질문에서 확인
학생들이 실제로 어려워하는 지점
EBS가 실제 중학생의 반복 질문을 모아 만든 공개 시리즈와 단원 내용을 대조했습니다.
반복해서 나타나는 어려움
- 용어를 외웠지만 “왜 그렇게 부르는지”를 말하지 못하면 새 표현에서 다시 막힙니다.
- 등호나 부호를 계산 지시로만 읽으면 식이 나타내는 관계를 놓치기 쉽습니다.
이렇게 배우면 연결이 쉽습니다
- 정의에 해당하는 예와 해당하지 않는 예를 한 쌍씩 직접 만듭니다.
- 기호를 읽기 전에 문장으로 뜻을 말하고, 같은 뜻을 수직선·식으로 옮깁니다.
이 단원에서 직접 확인할 오류
- 한쪽 항만 지우고 부호를 바꾼다.
- 분모 제거 시 일부 항에만 곱한다.
- 문장 조건과 맞지 않는 해를 그대로 답한다.
소수·소인수·방정식·좌표·함수 등을 공식 암기보다 “뜻부터” 묻는 실제 질문 순서로 다룹니다.
공공 교육자료EBSMath 중·고교 수학 시리즈어려운 용어를 일상 언어로 풀고, 중학교 핵심 개념을 이야기와 다양한 표현으로 연결하는 공개 자료입니다.
강의에서 확인한 난점과 설명 방식
링크는 검토한 자막 구간에서 바로 시작합니다. 직접 난점으로 확인되지 않은 영상은 설명 방식이나 개념 보충 자료로만 표시했습니다. 선정 영상 몇 편에서 확인한 정성 자료이며, 전체 학생의 난점 발생 빈도나 대표성을 뜻하지 않습니다.
해당 자막 구간에서 ‘방정식·등식·해’ 같은 핵심어를 중심으로 개념을 설명하는 순서를 확인했다. 이 구간은 설명법의 교육적 근거이며 학생 난점의 직접 관찰 근거로 사용하지 않는다.
공개 자막 구간 확인 · 해당 구간 보기 ↗[일타강사] 외우는 것 금지! 일타강사 정승제의 방정식 개념 알기🔎, MBC 221214 방송해당 자막 구간에서 ‘등식·해’ 같은 핵심어를 중심으로 개념을 설명하는 순서를 확인했다. 이 구간은 설명법의 교육적 근거이며 학생 난점의 직접 관찰 근거로 사용하지 않는다.
공개 자막 구간 확인 · 해당 구간 보기 ↗개념이 문제로 바뀌는 과정
대표 예제
3x-7=11을 푸시오.
- 양변에 7을 더하면 3x=18입니다.
- 양변을 3으로 나누면 x=6입니다.
- 원래 식에 넣으면 18-7=11입니다.
답: x=6
(x-1)/3-(x+2)/2=-2를 푸시오.
- 분모 3과 2의 최소공배수 6을 양변 모든 항에 곱합니다.
- 2(x-1)-3(x+2)=-12입니다.
- 2x-2-3x-6=-12이므로 -x-8=-12, x=4입니다.
- 원래 식에 대입하면 1-3=-2입니다.
답: x=4
어떤 수의 3배에 5를 더한 값이 그 수의 5배에서 9를 뺀 값과 같다. 어떤 수를 구하시오.
- 어떤 수를 x라 둡니다.
- 두 표현이 같으므로 3x+5=5x-9입니다.
- 양변에서 3x를 빼고 9를 더하면 14=2x입니다.
- x=7이고 두 식의 값은 모두 26입니다.
답: 7
처음 보는 문제에서도 쓰는 순서
풀이 절차
- 1괄호와 분모를 먼저 정리합니다.
- 2문자항은 한쪽, 상수항은 반대쪽에 모읍니다.
- 3문자의 계수로 나누고 원래 식에 대입합니다.
틀린 이유를 다음 문제에 남기지 않기
오개념 교정
분배법칙에서 괄호 안 일부 항만 곱하기
고치는 습관: 괄호와 분모를 먼저 정리합니다.분모를 없앨 때 모든 항에 최소공배수를 곱하지 않기
고치는 습관: 문자항은 한쪽, 상수항은 반대쪽에 모읍니다.읽은 뒤 확인하기
혼자 공부하는 순서
01방정식과 해를 자기 말로 설명한다.
02풀이의 각 변형을 등식의 성질로 설명한다.
03분배법칙과 분모 제거를 정확히 한다.
04구한 해를 원래 식과 문장에 모두 검산한다.