확률
조건이 주어졌을 때 표본공간이 어떻게 달라지는지 보고 사건의 독립과 확률의 곱셈을 다룹니다.
정의부터 표현과 조건까지
개념을 먼저 이해하기
확률의 뜻과 덧셈정리
모든 근원사건이 같은 정도로 일어날 때 사건 A의 확률은 A에 속한 경우의 수를 전체 경우의 수로 나눈 값이며, 일반적으로 0≤P(A)≤1이다.
불확실한 사건의 가능성을 비교하고 합사건·여사건을 체계적으로 계산한다.
확률은 가능한 전체 조각 중 원하는 사건이 차지하는 몫이다. 두 사건을 합치면 겹치는 조각은 한 번 빼야 한다.
- P(A)=n(A)/n(S) (동등가능)
- P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
- P(A^c)=1−P(A)
- 표본공간의 결과들이 동등하게 일어나는지 확인한다.
- A와 B가 배반이면 P(A∩B)=0이다.
- 확률값이 0과 1 사이인지 검산한다.
- 벤다이어그램
- 표본공간 표
- 수형도 끝가지의 확률
- 배반과 독립을 같은 뜻으로 보지 않는다.
- 겹치는 사건의 확률을 무조건 더하지 않는다.
- 경우 수 분모를 사건마다 다르게 세지 않는다.
조건부확률
사건 B가 일어났다는 조건 아래 A가 일어날 확률은 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)이다.
검사 결과, 사전 정보처럼 새로운 조건이 주어졌을 때 가능성의 기준 집단을 바꾸어 판단한다.
전체 방을 보다가 B라는 구역 안으로 들어간 뒤, 그 안에서 A에 해당하는 부분의 비율을 다시 보는 것이다.
- P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
- P(A∩B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)
- 연속 시행의 경로확률은 가지 확률의 곱
- P(B)>0이어야 P(A|B)를 정의할 수 있다.
- 조건 뒤의 사건 B가 새 분모가 된다.
- 복원·비복원 추출에 따라 다음 시행의 확률이 달라지는지 확인한다.
- B 영역만 확대한 벤다이어그램
- 2×2 분할표
- 조건에 따라 가지 확률이 바뀌는 수형도
- P(A|B)와 P(B|A)를 바꾸지 않는다.
- 교집합을 단순히 두 확률의 곱으로 두지 않는다.
- 비복원 추출에서 분모와 개수를 그대로 두지 않는다.
사건의 독립과 반복시행
P(A∩B)=P(A)P(B)일 때 A와 B는 독립이다. 같은 성공확률 p인 독립 시행을 n번 반복할 때 성공 횟수의 확률을 이항 형태로 계산한다.
한 사건의 발생이 다른 사건의 가능성에 영향을 주는지 판정하고 반복 실험의 정확한 횟수 확률을 구한다.
독립이면 B를 알기 전후에 A의 확률이 변하지 않는다. n번 중 정확히 r번 성공하는 결과는 성공 위치를 고르는 nCr가지가 있다.
- 독립 ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B)
- 독립이고 P(B)>0이면 P(A|B)=P(A)
- P(X=r)=nCr p^r(1−p)^(n−r)
- 배반인 두 사건은 동시에 일어나지 못하므로, 확률이 양수라면 독립이 아니다.
- 반복시행은 각 시행의 성공확률이 같고 서로 독립이어야 한다.
- “적어도”는 여사건을 쓰면 간단한지 검토한다.
- 독립 시행 수형도
- 성공 S/실패 F 문자열
- 이항계수와 성공 위치 선택
- 서로 다른 사건이면 자동으로 독립이라고 하지 않는다.
- 정확히 r번 성공할 때 nCr를 빠뜨리지 않는다.
- 적어도 한 번을 정확히 한 번과 혼동하지 않는다.
한국 수업·연구·학생 질문에서 확인
학생들이 실제로 어려워하는 지점
중학교 확률 교과 내용 연구와 확률·통계 오개념 연구를 참고했습니다.
반복해서 나타나는 어려움
- 경우를 실제로 나누지 않고 공식부터 고르면 중복되거나 빠진 경우를 알아차리기 어렵습니다.
- 현실 상황과 분리된 계산 규칙으로만 배우면 조건이 달라진 문제에서 공식을 바꾸지 못합니다.
이렇게 배우면 연결이 쉽습니다
- 작은 수로 직접 나열해 전체 경우와 원하는 경우를 먼저 확인합니다.
- 순서가 결과를 바꾸는지, 다시 뽑는지, 사건이 겹치는지를 말로 판정한 뒤 식을 씁니다.
이 단원에서 직접 확인할 오류
- P(A|B)와 P(B|A)를 혼동
- 비복원인데 독립으로 계산
- 배반사건을 독립사건이라 판단
확률이 현실과 단절된 계산 절차로 지도될 때 이해가 어려워진다는 선행 연구를 검토하고 실제 상황에 근거한 접근을 강조합니다.
공공 교육자료EBSMath 중·고교 수학 시리즈어려운 용어를 일상 언어로 풀고, 중학교 핵심 개념을 이야기와 다양한 표현으로 연결하는 공개 자료입니다.
강의에서 확인한 난점과 설명 방식
링크는 검토한 자막 구간에서 바로 시작합니다. 직접 난점으로 확인되지 않은 영상은 설명 방식이나 개념 보충 자료로만 표시했습니다. 선정 영상 몇 편에서 확인한 정성 자료이며, 전체 학생의 난점 발생 빈도나 대표성을 뜻하지 않습니다.
개념이 문제로 바뀌는 과정
대표 예제
한 장의 카드를 1부터 10까지 중 무작위로 고를 때 짝수 또는 3의 배수일 확률을 구하여라.
- 짝수는 5개, 3의 배수는 3개이다.
- 두 조건에 모두 해당하는 6은 한 번 중복되므로 유리한 경우는 5+3−1=7개이다.
- 전체 10개 중 7개이므로 확률은 7/10이다.
답: 7/10
상자에 빨간 공 3개, 파란 공 2개가 있다. 공을 하나씩 복원하지 않고 두 번 뽑을 때 첫 공이 빨간색이었다는 조건에서 둘째 공도 빨간색일 확률은?
- 첫 공이 빨간색이라는 정보로 남은 공은 빨간 2개, 파란 2개이다.
- 조건 뒤의 표본공간은 남은 4개이다.
- 따라서 둘째 공이 빨간색일 확률은 2/4=1/2이다.
답: 1/2
성공확률이 2/3인 독립 시행을 4번 할 때 적어도 한 번 실패할 확률을 구하여라.
- 적어도 한 번 실패의 여사건은 4번 모두 성공이다.
- 모두 성공할 확률은 (2/3)^4=16/81이다.
- 따라서 구하는 확률은 1−16/81=65/81이다.
답: 65/81
처음 보는 문제에서도 쓰는 순서
풀이 절차
- 1전체 표본공간과 조건 뒤의 표본공간을 따로 적습니다.
- 2표·나무그림으로 교집합과 조건을 표시합니다.
- 3독립은 정의식이 성립하는지 확인하고 직관만으로 판단하지 않습니다.
틀린 이유를 다음 문제에 남기지 않기
오개념 교정
P(B|A)와 P(A|B)를 같은 값으로 보기
고치는 습관: 전체 표본공간과 조건 뒤의 표본공간을 따로 적습니다.동시에 일어날 수 없는 배반 사건을 서로 영향이 없는 독립 사건이라고 보기
고치는 습관: 표·나무그림으로 교집합과 조건을 표시합니다.읽은 뒤 확인하기
혼자 공부하는 순서
01합사건에서 교집합을 한 번 뺀다.
02여사건으로 계산이 짧아지는 상황을 찾는다.
03조건부확률의 새 표본공간을 표시한다.
04배반과 독립을 정의로 구분한다.
05반복시행에서 성공 위치의 조합 수를 포함한다.