경우의 수
중복순열·같은 것이 있는 순열·중복조합으로 선택과 배열의 범위를 넓히고 이항정리와 연결합니다.
정의부터 표현과 조건까지
개념을 먼저 이해하기
합의 법칙과 곱의 법칙
서로 겹치지 않는 선택 갈래의 수는 더하고, 연속해서 이루어지는 선택 단계의 수는 곱한다.
공식을 고르기 전에 모든 세기의 바탕이 되는 분할 원리를 세울 수 있다.
선택지가 “A 또는 B”인 갈림길이면 더하고, “A를 한 뒤 B”인 연속 관문이면 곱한다.
- 서로 배반인 A,B: n(A∪B)=n(A)+n(B)
- 연속 선택: m가지 뒤 각각 n가지이면 mn가지
- 여사건식 세기: 전체−조건을 어기는 경우
- 덧셈할 갈래끼리 겹치지 않는지 확인한다.
- 곱셈할 때 뒤 단계의 경우 수가 앞 선택에 따라 달라지면 경우를 나눈다.
- 누락과 중복을 작은 예로 검산한다.
- 수형도
- 표
- 조건에 따른 경우 분류표
- 문제에 “그리고”가 있다고 기계적으로 곱하지 않는다.
- 겹치는 두 집합의 개수를 그냥 더하지 않는다.
- 나열 순서가 결과를 바꾸는지 먼저 결정한다.
순열과 조합
서로 다른 n개에서 r개를 순서를 고려해 나열하는 수를 nPr, 순서를 고려하지 않고 고르는 수를 nCr라 한다.
선택된 대상은 같아도 배치 순서가 결과를 바꾸는 상황과 그렇지 않은 상황을 정확히 구분한다.
대표·부대표를 뽑으면 역할이 달라 순열이고, 역할 없는 위원 r명을 뽑으면 같은 묶음의 순서만 r!번 중복되므로 조합이다.
- nPr=n!/(n−r)!
- nCr=n!/{r!(n−r)!}
- nCr=nC(n−r)
- nCr=n−1Cr−1+n−1Cr
- 0≤r≤n인 정수이다.
- 같은 대상이 반복 선택되는 문제인지 확인한다.
- 붙어 있어야 함·떨어져야 함 같은 제한 조건은 먼저 묶거나 여사건을 고려한다.
- 순서 있는 자리 상자
- 조합을 r!개의 같은 순열 묶음으로 표시
- 선택/비선택 이진표
- nPr와 nCr를 키워드만 보고 고르지 않는다.
- 선택 후 다시 배열하는 문제에서 배열 수를 빠뜨리지 않는다.
- 원순열 공식을 기본 공식처럼 적용하지 않는다. 원순열은 심화 선택 내용이다.
이항정리와 파스칼의 삼각형
(a+b)^n의 전개에서 a^(n−r)b^r의 계수는 nCr이며, 이 계수 배열이 파스칼의 삼각형을 이룬다.
높은 거듭제곱을 모두 곱하지 않고 특정 항과 계수를 찾고, 조합의 점화 관계를 시각적으로 이해할 수 있다.
n개의 괄호에서 b를 선택한 괄호 r개를 고르는 방법이 nCr가지이므로 해당 항의 계수가 된다.
- (a+b)^n=Σ(r=0 to n)nCr a^(n−r)b^r
- 일반항 T_(r+1)=nCr a^(n−r)b^r
- nCr=n−1Cr−1+n−1Cr
- r은 b를 선택한 횟수이고 항 번호는 r+1이다.
- (a−b)^n에서는 b 자리에 −b를 넣어 부호를 반영한다.
- 특정 차수 항은 각 인수의 지수까지 포함해 계산한다.
- 파스칼 삼각형의 양 끝 1과 이웃 두 수의 합
- 각 괄호에서 a/b 선택 경로
- 전개항의 a 지수는 감소, b 지수는 증가
- r번째 항과 r에 해당하는 항을 한 칸 어긋나게 세지 않는다.
- 계수만 구하고 a,b의 계수 거듭제곱을 누락하지 않는다.
- (a+b)^n을 a^n+b^n으로 전개하지 않는다.
한국 수업·연구·학생 질문에서 확인
학생들이 실제로 어려워하는 지점
중학교 확률 교과 내용 연구와 확률·통계 오개념 연구를 참고했습니다.
반복해서 나타나는 어려움
- 경우를 실제로 나누지 않고 공식부터 고르면 중복되거나 빠진 경우를 알아차리기 어렵습니다.
- 현실 상황과 분리된 계산 규칙으로만 배우면 조건이 달라진 문제에서 공식을 바꾸지 못합니다.
이렇게 배우면 연결이 쉽습니다
- 작은 수로 직접 나열해 전체 경우와 원하는 경우를 먼저 확인합니다.
- 순서가 결과를 바꾸는지, 다시 뽑는지, 사건이 겹치는지를 말로 판정한 뒤 식을 씁니다.
이 단원에서 직접 확인할 오류
- 겹치는 갈래를 더해 중복 계산
- 조합과 순열을 반대로 선택
- 일반항 번호와 r 값을 혼동
확률이 현실과 단절된 계산 절차로 지도될 때 이해가 어려워진다는 선행 연구를 검토하고 실제 상황에 근거한 접근을 강조합니다.
공공 교육자료EBSMath 중·고교 수학 시리즈어려운 용어를 일상 언어로 풀고, 중학교 핵심 개념을 이야기와 다양한 표현으로 연결하는 공개 자료입니다.
강의에서 확인한 난점과 설명 방식
링크는 검토한 자막 구간에서 바로 시작합니다. 직접 난점으로 확인되지 않은 영상은 설명 방식이나 개념 보충 자료로만 표시했습니다. 선정 영상 몇 편에서 확인한 정성 자료이며, 전체 학생의 난점 발생 빈도나 대표성을 뜻하지 않습니다.
개념이 문제로 바뀌는 과정
대표 예제
서로 다른 5명 A,B,C,D,E를 한 줄로 세울 때 A와 B가 이웃하는 경우의 수를 구하여라.
- A와 B를 한 묶음으로 보면 묶음, C,D,E의 4개 대상을 배열하므로 4!가지이다.
- 묶음 안에서 AB, BA의 2가지 순서가 있다.
- 따라서 4!·2=48이다.
답: 48가지
남학생 5명, 여학생 4명 중 남학생 2명과 여학생 2명을 뽑는 경우의 수를 구하여라.
- 남학생은 5C2=10가지이다.
- 여학생은 4C2=6가지이다.
- 두 선택은 연속해 이루어지므로 10·6=60이다.
답: 60가지
(2x−1)^6의 전개에서 x^4의 계수를 구하여라.
- 일반항은 6Cr(2x)^(6−r)(−1)^r이다.
- x의 차수가 4이려면 6−r=4이므로 r=2이다.
- 계수는 6C2·2^4·(−1)^2=15·16=240이다.
답: 240
처음 보는 문제에서도 쓰는 순서
풀이 절차
- 1순서가 중요한지, 반복을 허용하는지, 같은 것이 있는지 세 질문을 먼저 합니다.
- 2작은 사례를 나열해 같은 경우의 기준을 정합니다.
- 3공식을 적용한 뒤 전체 경우보다 결과가 지나치게 크거나 작지 않은지 확인합니다.
틀린 이유를 다음 문제에 남기지 않기
오개념 교정
중복을 허용하는 선택과 같은 물건이 이미 포함된 배열을 같은 공식으로 처리하기
고치는 습관: 순서가 중요한지, 반복을 허용하는지, 같은 것이 있는지 세 질문을 먼저 합니다.이항정리에서 항의 차수와 조합의 아래 첨자를 어긋나게 쓰기
고치는 습관: 작은 사례를 나열해 같은 경우의 기준을 정합니다.읽은 뒤 확인하기
혼자 공부하는 순서
01서로 배반인 갈래와 연속 선택을 구분한다.
02순서가 결과를 바꾸는지 말로 설명한다.
03제한 조건을 묶음 또는 여사건으로 처리한다.
04이항정리의 일반항에서 항 번호와 r을 구분한다.
05원순열은 기본 범위가 아닌 심화임을 안다.