삼각함수
중학교의 예각 삼각비를 모든 각으로 넓히고, 각에 따른 값의 변화를 주기함수로 다룹니다.
정의부터 표현과 조건까지
개념을 먼저 이해하기
일반각과 호도법
시초선에서 동경까지 반시계 방향 회전을 양, 시계 방향 회전을 음으로 정해 회전량 전체를 나타낸 각을 일반각이라 한다. 반지름과 같은 길이의 호가 만드는 중심각을 1라디안으로 정한다.
360°를 넘거나 음수인 회전을 표현하고, 원의 호 길이와 부채꼴 넓이를 간단한 식으로 연결하려면 호도법이 필요하다.
도는 한 바퀴를 360등분한 눈금이고, 라디안은 반지름을 자처럼 사용해 원둘레를 잰 눈금이다. 원둘레가 2πr이므로 한 바퀴는 2π라디안이다.
- 180°=π rad
- θ°=(πθ/180) rad
- 호의 길이 l=rθ
- 부채꼴의 넓이 S=(1/2)r²θ
- l=rθ와 S=(1/2)r²θ에서 θ는 라디안이다.
- θ와 θ+2kπ(k는 정수)는 동경의 위치가 같다.
- 각의 부호와 사분면을 회전 방향으로 확인한다.
- 360°=2π, 180°=π, 90°=π/2를 단위원에 함께 표시한다.
- −π/3은 시계 방향 60° 회전이다.
- 13π/6은 2π+π/6이므로 π/6과 동경이 같다.
- π를 무조건 180이라는 수로 치환하지 않는다. 단위 변환 관계이다.
- 도 단위의 각을 l=rθ에 그대로 넣지 않는다.
- 동경이 같다고 일반각 자체가 같은 것은 아니다.
단위원과 삼각함수의 그래프
단위원 위에서 각 θ의 동경과 만나는 점 P의 좌표를 (cos θ, sin θ)로 정하고, cos θ≠0일 때 tan θ=sin θ/cos θ로 정한다.
삼각비를 모든 실수 각에 대해 정의하고, 부호·주기·그래프를 좌표로 일관되게 설명할 수 있다.
각이 변하면 단위원 위의 점이 돈다. 그 점의 가로 그림자가 cos, 세로 그림자가 sin이다. 한 바퀴 뒤 같은 좌표로 돌아오므로 함수값이 반복된다.
- sin²θ+cos²θ=1
- tan θ=sin θ/cos θ (cos θ≠0)
- sin(θ+2π)=sin θ, cos(θ+2π)=cos θ
- tan(θ+π)=tan θ
- sin과 cos의 값은 −1 이상 1 이하이다.
- tan은 θ=π/2+kπ에서 정의되지 않는다.
- 그래프 이동에서는 안쪽 각의 계수가 주기를 바꾼다.
- y=sin x는 원점에서 시작하며 진폭 1, 주기 2π이다.
- y=cos x는 (0,1)에서 시작하며 진폭 1, 주기 2π이다.
- y=tan x는 주기 π이고 x=π/2+kπ를 점근선으로 갖는다.
- sin(α+β)를 sin α+sin β로 계산하지 않는다.
- tan의 값도 −1과 1 사이로 제한된다고 생각하지 않는다.
- y=sin 2x의 주기를 4π로 잡지 않는다. 실제 주기는 π이다.
사인법칙과 코사인법칙
임의의 삼각형에서 변의 길이와 맞은편 각을 연결하는 관계이다. 사인법칙은 외접원의 반지름과 연결되고, 코사인법칙은 피타고라스 정리를 일반각으로 확장한다.
직각이 아닌 삼각형에서도 주어진 변과 각으로 나머지 길이·각·넓이를 구할 수 있다.
한 변의 길이는 맞은편 각이 클수록 길어진다. 코사인법칙의 −2bc cos A는 두 변 사이 각이 직각에서 얼마나 벗어났는지를 보정한다.
- a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R
- a²=b²+c²−2bc cos A
- 삼각형의 넓이 S=(1/2)bc sin A
- 변 a,b,c는 각각 각 A,B,C의 맞은편이어야 한다.
- 사인값만으로 각을 정할 때 예각과 둔각 가능성을 삼각형 조건으로 확인한다.
- 두 변과 끼인각이면 코사인법칙, 한 변과 그 맞은편 각의 쌍이 있으면 사인법칙이 보통 효율적이다.
- 각 A 맞은편 변에 a를 표시한 표준 삼각형 그림
- A=90°이면 cos A=0이 되어 a²=b²+c²가 된다.
- 넓이 공식은 높이 h=c sin A를 대입해 얻는다.
- 각과 맞은편 변의 대응을 바꾸어 쓰지 않는다.
- 두 변과 끼이지 않은 각에 넓이 공식을 잘못 적용하지 않는다.
- sin A=sin B에서 무조건 A=B만 생각하지 말고 삼각형의 각 범위를 확인한다.
한국 수업·연구·학생 질문에서 확인
학생들이 실제로 어려워하는 지점
한국 중학교 삼각비 수업 사례에서 직접 다룬 혼동과 교수 설계 쟁점을 사용했습니다.
반복해서 나타나는 어려움
- sin·cos·tan의 분자와 분모를 외운 순서로만 기억해 기준각이 바뀌면 혼동합니다.
- 닮은 직각삼각형에서 크기가 달라도 같은 각의 변의 비가 일정하다는 핵심 연결을 놓치기 쉽습니다.
이렇게 배우면 연결이 쉽습니다
- 항상 기준각을 먼저 표시하고 빗변·높이·밑변을 그 각을 기준으로 다시 이름 붙입니다.
- 같은 각을 가진 크기 다른 삼각형 두 개를 직접 재서 비가 같은지 확인한 뒤 공식을 씁니다.
이 단원에서 직접 확인할 오류
- 도와 라디안을 한 식 안에서 혼용함
- 기준각 값은 맞지만 사분면의 부호를 놓침
- 사인법칙에서 각과 맞은편 변을 잘못 짝지음
삼각비끼리의 혼동과 “삼각형이 달라도 비가 일정하다”는 본질을 드러낼 탐구 기회의 부족을 수업 설계 쟁점으로 확인했습니다.
공공 교육자료EBSMath 중·고교 수학 시리즈어려운 용어를 일상 언어로 풀고, 중학교 핵심 개념을 이야기와 다양한 표현으로 연결하는 공개 자료입니다.
강의에서 확인한 난점과 설명 방식
링크는 검토한 자막 구간에서 바로 시작합니다. 직접 난점으로 확인되지 않은 영상은 설명 방식이나 개념 보충 자료로만 표시했습니다. 선정 영상 몇 편에서 확인한 정성 자료이며, 전체 학생의 난점 발생 빈도나 대표성을 뜻하지 않습니다.
개념이 문제로 바뀌는 과정
대표 예제
반지름이 6이고 중심각이 5π/6인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하여라.
- 호의 길이는 l=rθ=6·(5π/6)=5π이다.
- 넓이는 S=(1/2)r²θ=(1/2)·36·(5π/6)=15π이다.
답: 호의 길이 5π, 넓이 15π
함수 y=2sin(3x−π/2)+1의 최댓값과 주기를 구하여라.
- −1≤sin(3x−π/2)≤1이므로 −2≤2sin(3x−π/2)≤2이다.
- 양변에 1을 더하면 −1≤y≤3이므로 최댓값은 3이다.
- sin(ax+b)의 주기는 2π/|a|이므로 주기는 2π/3이다.
답: 최댓값 3, 주기 2π/3
삼각형 ABC에서 b=5, c=7, A=60°일 때 a와 삼각형의 넓이를 구하여라.
- 코사인법칙으로 a²=5²+7²−2·5·7·cos60°=25+49−35=39이다.
- 길이는 양수이므로 a=√39이다.
- 넓이는 (1/2)bc sin A=(1/2)·5·7·(√3/2)=35√3/4이다.
답: a=√39, 넓이 35√3/4
처음 보는 문제에서도 쓰는 순서
풀이 절차
- 1각의 단위와 범위를 확인합니다.
- 2단위원에서 부호와 기준각을 먼저 정한 뒤 값을 구합니다.
- 3삼각형 활용은 주어진 변과 각의 조합을 보고 사인법칙과 코사인법칙 중 하나를 고릅니다.
틀린 이유를 다음 문제에 남기지 않기
오개념 교정
도와 라디안을 섞어 계산하거나 주기를 빠뜨리기
고치는 습관: 각의 단위와 범위를 확인합니다.그래프의 진폭·주기·평행이동을 식의 계수와 반대로 읽기
고치는 습관: 단위원에서 부호와 기준각을 먼저 정한 뒤 값을 구합니다.읽은 뒤 확인하기
혼자 공부하는 순서
01도와 라디안을 서로 변환한다.
02단위원에서 삼각함수의 값과 부호를 읽는다.
03sin, cos, tan 그래프의 주기와 정의되지 않는 지점을 설명한다.
04사인법칙과 코사인법칙의 선택 기준을 안다.
05삼각형의 넓이를 두 변과 끼인각으로 구한다.