복리, 세균 증식, 감쇠처럼 일정한 비율로 변하는 현상은 자연수 지수만으로는 중간 시점의 값을 표현할 수 없다. 지수를 넓혀야 모든 실수 시점의 변화를 하나의 함수로 다룰 수 있다.

a^(1/n)은 “n번 곱해서 a가 되는 양수”이고, a^(m/n)은 그 값을 m번 곱한 것이다. 지수는 곱셈의 횟수에서 출발하지만, 확장 뒤에는 변화의 정도를 나타내는 연속적인 눈금이 된다.

지수에 미지수가 있는 식을 풀고, 매우 큰 곱셈을 덧셈으로 바꾸며, 지수적 변화에 걸리는 시간을 구할 때 필요하다.

log_2 8=3은 “2를 몇 제곱하면 8인가?”라는 질문의 답이다. 지수식과 로그식은 다른 사실이 아니라 같은 관계를 읽는 두 방식이다.

밑의 크기에 따른 증가·감소, 방정식 해의 개수, 부등식 방향을 그래프 한 장으로 판단할 수 있다.

지수함수는 x를 입력해 거듭제곱한 값을 내놓고, 로그함수는 그 결과를 입력해 원래 지수를 되돌려 준다. 따라서 두 그래프는 y=x라는 거울에 비친 모양이다.