행렬
수를 직사각형 배열로 묶어 자료와 변환을 간결하게 계산합니다.
정의부터 표현과 조건까지
개념을 먼저 이해하기
행렬의 뜻과 같음
m개의 행과 n개의 열로 이루어진 수의 배열을 m×n 행렬이라 한다. 두 행렬이 같으려면 크기가 같고 대응하는 모든 성분이 같아야 한다.
많은 수를 위치 정보와 함께 한 대상으로 다루면 표·그래프·변환을 간결하게 표현할 수 있다.
좌석표처럼 행과 열의 위치 자체가 각 수의 의미를 정한다.
- A=[aᵢⱼ], 1≤i≤m, 1≤j≤n
- A=B ⇔ 크기가 같고 모든 aᵢⱼ=bᵢⱼ
- 행 번호를 먼저, 열 번호를 나중에 읽는다.
- 성분 개수가 같아도 행렬의 크기가 다르면 같은 행렬이 아니다.
- 자료 표를 행렬로 옮긴다.
- a₂₃을 2행 3열 위치에서 찾는다.
- 행과 열의 순서를 뒤집어 읽는다.
- 성분의 집합이 같으면 같은 행렬이라 한다.
덧셈·뺄셈과 실수배
크기가 같은 행렬끼리는 대응 성분을 더하거나 뺀다. 행렬의 실수배는 모든 성분에 그 실수를 곱한다.
같은 구조의 두 자료를 합치거나 변화량을 적용할 때 성분별 연산이 필요하다.
같은 모양의 두 표를 포개어 같은 칸끼리 계산한다.
- A±B=[aᵢⱼ±bᵢⱼ]
- kA=[kaᵢⱼ]
- 덧셈과 뺄셈은 두 행렬의 크기가 같아야 한다.
- 실수배는 행렬의 크기를 바꾸지 않는다.
- 대응 성분을 색으로 연결한다.
- 각 행렬을 좌표 벡터처럼 보고 성분별 계산한다.
- 크기가 다른 행렬을 빈칸 없이 더한다.
- 실수배를 일부 행이나 열에만 적용한다.
행렬의 곱셈
A가 m×n, B가 n×p이면 AB는 m×p 행렬이며, AB의 (i,j)성분은 A의 i행과 B의 j열의 대응 성분 곱의 합이다.
첫 변환의 출력이 다음 변환의 입력으로 이어지는 합성 관계를 나타낸다.
왼쪽 행이 질문을 던지고 오른쪽 열이 답하며, 같은 위치끼리 곱해 모두 더한다.
- (AB)ᵢⱼ=Σₖaᵢₖbₖⱼ
- (m×n)(n×p)=m×p
- 일반적으로 AB≠BA
- 왼쪽 행렬의 열 수와 오른쪽 행렬의 행 수가 같아야 한다.
- 곱의 순서를 바꾸면 정의되지 않거나 값이 달라질 수 있다.
- 행×열을 손가락으로 짚어 한 성분씩 계산한다.
- 크기만 먼저 (m×n)(n×p)→m×p로 적는다.
- 대응 성분끼리만 곱한다.
- 항상 AB=BA라고 생각한다.
한국 수업·연구·학생 질문에서 확인
학생들이 실제로 어려워하는 지점
중1 문자식 오류 연구를 대수 학습의 출발점으로 삼고, 고등 과정은 교과서 활용 연구와 EBS 자료를 함께 참고했습니다. 고등 단원별 오류 빈도 조사로 확대 해석하지는 않습니다.
반복해서 나타나는 어려움
- 숫자 계산 습관을 문자에 그대로 적용해, 항의 종류와 연산의 의미를 구분하지 못하는 오류가 반복됩니다.
- 공식의 모양은 기억해도 어떤 조건에서 쓸 수 있는지 설명하지 못하면 비슷한 공식 사이에서 흔들립니다.
이렇게 배우면 연결이 쉽습니다
- 문자를 “아직 정하지 않은 수”로 읽고, 같은 항·다른 항을 색이나 묶음으로 먼저 구분합니다.
- 공식마다 시작 조건, 바뀌는 과정, 결과를 세 줄로 적고 바로 역검산합니다.
이 단원에서 직접 확인할 오류
- 행·열 순서 혼동
- 곱셈 가능 조건을 반대로 확인
- AB와 BA를 같다고 처리
조사 대상의 오류 가운데 개념·문제 이해에서 비롯된 오류가 가장 큰 비중을 차지했고, 기호 처리 오류가 뒤를 이었습니다.
수학교육 연구고등학생의 수학 교과서 인식과 활용고등학생은 교과서를 시험 대비에 중요하게 보지만 실제 자율 학습에는 제한적으로 활용한다는 인터뷰 결과를 보고했습니다.
공공 교육자료EBSMath 중·고교 수학 시리즈어려운 용어를 일상 언어로 풀고, 중학교 핵심 개념을 이야기와 다양한 표현으로 연결하는 공개 자료입니다.
강의에서 확인한 난점과 설명 방식
링크는 검토한 자막 구간에서 바로 시작합니다. 직접 난점으로 확인되지 않은 영상은 설명 방식이나 개념 보충 자료로만 표시했습니다. 선정 영상 몇 편에서 확인한 정성 자료이며, 전체 학생의 난점 발생 빈도나 대표성을 뜻하지 않습니다.
개념이 문제로 바뀌는 과정
대표 예제
[[a,2],[3,b]]=[[1,2],[3,-4]]일 때 a+b를 구하시오.
- 같은 위치의 성분끼리 같아야 한다.
- 1행 1열에서 a=1, 2행 2열에서 b=-4이다.
- a+b=1-4=-3이다.
답: -3
A=[[1,2],[-1,3]], B=[[2,0],[4,1]]일 때 AB를 구하시오.
- 1행과 각 열을 곱해 1·2+2·4=10, 1·0+2·1=2를 얻는다.
- 2행과 각 열을 곱해 -1·2+3·4=10, -1·0+3·1=3을 얻는다.
- 따라서 AB=[[10,2],[10,3]]이다.
답: [[10,2],[10,3]]
위 A,B에 대하여 AB-BA를 구하시오.
- 앞에서 AB=[[10,2],[10,3]]이다.
- BA=[[2,4],[3,11]]이다.
- 성분별로 빼면 [[8,-2],[7,-8]]이며 0행렬이 아니므로 AB≠BA이다.
답: [[8,-2],[7,-8]]
처음 보는 문제에서도 쓰는 순서
풀이 절차
- 1먼저 행렬의 크기를 적습니다.
- 2곱셈 가능 여부와 결과 크기를 정합니다.
- 3왼쪽 행과 오른쪽 열을 짝지어 계산합니다.
틀린 이유를 다음 문제에 남기지 않기
오개념 교정
행과 열의 순서를 바꾸어 읽기
고치는 습관: 먼저 행렬의 크기를 적습니다.행렬 곱을 같은 위치 성분끼리 곱하는 것으로 착각하기
고치는 습관: 곱셈 가능 여부와 결과 크기를 정합니다.읽은 뒤 확인하기
혼자 공부하는 순서
01행렬의 크기와 성분 위치를 읽는다.
02같은 크기의 행렬을 성분별로 더한다.
03곱셈 가능 여부와 결과 크기를 먼저 판단한다.
04행×열 계산과 곱의 순서를 지킨다.