경우의 수
겹치거나 빠지는 경우 없이 가능한 선택의 수를 체계적으로 셉니다.
정의부터 표현과 조건까지
개념을 먼저 이해하기
합의 법칙과 곱의 법칙
서로 겹치지 않는 선택 중 하나를 하는 경우는 더하고, 연속된 선택 단계를 모두 거치는 경우는 곱한다.
경우의 수 공식보다 먼저 문제의 사건 구조가 “또는”인지 “그리고”인지 판별해야 한다.
갈림길 중 하나를 고르면 가지 수를 더하고, 첫 갈림길 뒤 다시 갈라지면 각 단계의 가지 수를 곱한다.
- 배반인 A 또는 B의 경우의 수: n(A)+n(B)
- 단계 A 다음 단계 B: n(A)×n(B)
- 합의 법칙에서 두 경우가 겹치면 중복을 빼야 한다.
- 곱의 법칙에서 뒤 단계의 선택 수가 앞 선택에 따라 달라지면 경우를 나눈다.
- 수형도로 선택 단계를 펼친다.
- 표로 두 기준의 조합을 나타낸다.
- 문장에 “또는”이 보이면 무조건 더한다.
- 겹치는 경우를 두 번 센다.
순열과 조합
서로 다른 n개에서 r개를 순서 있게 뽑는 수는 순열 nPr, 순서 없이 뽑는 수는 조합 nCr이다.
같은 대상을 뽑아도 자리·직책·순서가 결과를 바꾸는지에 따라 답이 크게 달라진다.
대표와 부대표는 자리를 바꾸면 다른 결과지만, 청소 당번 두 명은 순서가 없으면 같은 결과이다.
- nPr=n!/(n-r)!
- nCr=n!/(r!(n-r)!)
- nCr=nC(n-r)
- 0≤r≤n인 정수이다.
- 대상이 서로 다른지, 순서를 구별하는지 먼저 확인한다.
- 자리 r개를 그린 뒤 선택 가능 수를 적는다.
- 순열을 r!로 나누어 조합을 만든다.
- “뽑는다”는 말만 보고 조합을 쓴다.
- 직책이 다른데 순서를 무시한다.
제약 조건과 여사건
특정 대상이 붙거나 떨어지는 조건은 묶음, 자리 고정, 전체에서 반대 경우 빼기 등의 전략으로 센다.
복잡한 조건을 직접 모두 나열하기보다 더 단순한 반대 사건이나 블록으로 바꾸면 누락을 막을 수 있다.
둘이 붙는다면 하나의 큰 사람처럼 묶고, 적어도 하나라면 아무도 없는 경우를 전체에서 뺀다.
- 원하는 경우=전체 경우-원하지 않는 경우
- A 또는 B=n(A)+n(B)-n(A∩B)
- 묶음 내부의 순서도 따로 센다.
- 여사건이 정말 전체를 정확히 둘로 나누는지 확인한다.
- 벤다이어그램으로 중복을 표시한다.
- 조건별로 경우를 표의 행으로 분할한다.
- 묶음 내부 순서를 빠뜨린다.
- 적어도 하나와 정확히 하나를 혼동한다.
한국 수업·연구·학생 질문에서 확인
학생들이 실제로 어려워하는 지점
중학교 확률 교과 내용 연구와 확률·통계 오개념 연구를 참고했습니다.
반복해서 나타나는 어려움
- 경우를 실제로 나누지 않고 공식부터 고르면 중복되거나 빠진 경우를 알아차리기 어렵습니다.
- 현실 상황과 분리된 계산 규칙으로만 배우면 조건이 달라진 문제에서 공식을 바꾸지 못합니다.
이렇게 배우면 연결이 쉽습니다
- 작은 수로 직접 나열해 전체 경우와 원하는 경우를 먼저 확인합니다.
- 순서가 결과를 바꾸는지, 다시 뽑는지, 사건이 겹치는지를 말로 판정한 뒤 식을 씁니다.
이 단원에서 직접 확인할 오류
- 중복되는 경우를 단순 합산
- 직책 순서 무시
- 묶음 내부 배열 누락
확률이 현실과 단절된 계산 절차로 지도될 때 이해가 어려워진다는 선행 연구를 검토하고 실제 상황에 근거한 접근을 강조합니다.
공공 교육자료EBSMath 중·고교 수학 시리즈어려운 용어를 일상 언어로 풀고, 중학교 핵심 개념을 이야기와 다양한 표현으로 연결하는 공개 자료입니다.
강의에서 확인한 난점과 설명 방식
링크는 검토한 자막 구간에서 바로 시작합니다. 직접 난점으로 확인되지 않은 영상은 설명 방식이나 개념 보충 자료로만 표시했습니다. 선정 영상 몇 편에서 확인한 정성 자료이며, 전체 학생의 난점 발생 빈도나 대표성을 뜻하지 않습니다.
개념이 문제로 바뀌는 과정
대표 예제
상의 4벌과 하의 3벌 중 각각 하나씩 골라 입는 방법은 몇 가지인가?
- 상의 한 벌마다 하의 3벌을 고를 수 있다.
- 4개의 상의 선택 각각에 3개의 하의 선택이 이어진다.
- 4×3=12이다.
답: 12가지
7명 중 회장 1명과 부회장 1명을 뽑는 방법은 몇 가지인가?
- 두 직책은 서로 달라 순서를 구별한다.
- 회장은 7명, 부회장은 남은 6명이다.
- 7P2=7×6=42이다.
답: 42가지
서로 다른 5명 A,B,C,D,E를 일렬로 세울 때 A와 B가 이웃하는 방법은 몇 가지인가?
- A와 B를 한 묶음으로 보면 묶음, C,D,E의 4개 대상을 배열한다.
- 4!=24가지이다.
- 묶음 안은 AB, BA의 2가지이므로 24×2=48이다.
답: 48가지
처음 보는 문제에서도 쓰는 순서
풀이 절차
- 1작은 예로 순서 구분 여부를 확인합니다.
- 2선택 단계를 나누거나 기준 하나로 경우를 분류합니다.
- 3모든 분류가 겹치지 않고 전체를 덮는지 확인합니다.
틀린 이유를 다음 문제에 남기지 않기
오개념 교정
순서를 다른 경우로 볼지 먼저 정하지 않기
고치는 습관: 작은 예로 순서 구분 여부를 확인합니다.제한 조건을 전체 경우에 반영하지 않아 중복 세기
고치는 습관: 선택 단계를 나누거나 기준 하나로 경우를 분류합니다.읽은 뒤 확인하기
혼자 공부하는 순서
01합과 곱의 법칙을 사건 구조로 구별한다.
02순열과 조합을 순서 여부로 선택한다.
03묶음 내부 순서를 센다.
04여사건을 쓸 때 전체와 제외 대상을 명시한다.