원의 방정식
중심에서 같은 거리에 있는 점들의 모임을 좌표식으로 나타냅니다.
정의부터 표현과 조건까지
개념을 먼저 이해하기
원의 표준형과 일반형
중심이 (a,b), 반지름이 r>0인 원은 (x-a)²+(y-b)²=r²을 만족하는 점들의 집합이다.
기하적 거리 조건을 방정식으로 바꾸면 중심·반지름·교점을 계산할 수 있다.
중심에 고정한 길이 r의 끈 끝이 움직이며 그리는 자취가 원이다.
- (x-a)²+(y-b)²=r²
- x²+y²+Dx+Ey+F=0의 중심=(-D/2,-E/2)
- 반지름은 양수이며 완전제곱 후 r²>0인지 확인한다.
- x²과 y²의 계수가 같고 xy항이 없는 형태가 원의 일반형이다.
- 거리 공식에서 표준형을 유도한다.
- 일반형을 x,y 각각 완전제곱한다.
- 중심의 부호를 괄호 안 부호 그대로 읽는다.
- 완전제곱하며 우변에 같은 수를 더하지 않는다.
원과 직선의 위치 관계
원의 중심에서 직선까지 거리 d와 반지름 r을 비교해 d<r이면 두 점, d=r이면 한 점에서 만나고, d>r이면 만나지 않는다.
연립해를 직접 계산하지 않고 교점 개수와 접할 조건을 결정할 수 있다.
직선이 중심에서 반지름보다 가까이 지나가면 원을 가로지르고, 정확히 반지름만큼 떨어지면 스친다.
- d<r: 두 교점
- d=r: 접함
- d>r: 교점 없음
- d는 중심과 직선 사이의 수선거리이다.
- 대입해 생긴 이차방정식의 판별식으로도 같은 결론을 얻는다.
- 중심에서 직선에 수선을 내려 d와 r을 표시한다.
- 교점 방정식의 판별식 부호와 연결한다.
- 직선의 y절편과 반지름을 비교한다.
- 접한다는 조건을 D=1로 둔다.
원의 접선
원의 한 점에서 그은 접선은 그 접점으로 향하는 반지름과 수직이다.
접점 정보와 수직 조건을 이용하면 접선 방정식과 접선의 개수를 구할 수 있다.
원을 스치는 직선은 접점에서 원 안으로 파고들지 않으므로 중심 방향과 직각을 이룬다.
- x²+y²=r² 위 (x₁,y₁)의 접선: xx₁+yy₁=r²
- 중심 (a,b)에서는 X=x-a, Y=y-b로 평행이동해 적용
- 주어진 점이 원 위에 있는지 먼저 확인한다.
- 원 밖 한 점에서는 두 접선, 원 위에서는 하나, 원 안에서는 실접선이 없다.
- 반지름의 기울기와 음의 역수로 접선 기울기를 구한다.
- 중심-외부점-접점의 직각삼각형을 그린다.
- 접점이 원 위인지 확인하지 않는다.
- 반지름과 접선의 기울기를 같게 둔다.
한국 수업·연구·학생 질문에서 확인
학생들이 실제로 어려워하는 지점
기하 문제 해결 연구와 공개 학생 질문을 함께 봤습니다. 커뮤니티 글은 한 학생의 경험이므로 빈도 근거가 아니라 실제 표현의 참고 자료입니다.
반복해서 나타나는 어려움
- 그림에 보이는 값만 계산하려다 어떤 관계를 만들 보조선이 필요한지에서 막힙니다.
- 대수는 절차가 보이지만 도형은 처음 보는 배치에서 시작점을 못 찾는다는 학생 질문이 실제로 나타납니다.
이렇게 배우면 연결이 쉽습니다
- 계산 전에 주어진 조건을 그림에 표시하고, 찾고 싶은 관계를 만드는 선 하나를 후보로 그립니다.
- 도형 이름보다 평행·수직·같은 길이·같은 각을 먼저 읽고, 쓸 수 있는 정리를 옆에 적습니다.
이 단원에서 직접 확인할 오류
- 중심 부호 반대
- 완전제곱 상수 보정 누락
- 접점의 원 위 여부 미확인
보조선을 떠올리는 학생 수와 걸린 시간을 실제로 측정해, 그림에서 필요한 관계를 새로 만드는 과정이 별도 학습 대상임을 보여 줍니다.
공개 커뮤니티중2 학생의 도형 내신 공부 질문대수는 절차대로 풀지만 도형은 처음 보는 문제에서 막힌다는 학생 질문입니다. 개인 경험이므로 연구 결과가 아니라 현장 목소리로만 참고합니다.
공공 교육자료EBSMath 중·고교 수학 시리즈어려운 용어를 일상 언어로 풀고, 중학교 핵심 개념을 이야기와 다양한 표현으로 연결하는 공개 자료입니다.
강의에서 확인한 난점과 설명 방식
링크는 검토한 자막 구간에서 바로 시작합니다. 직접 난점으로 확인되지 않은 영상은 설명 방식이나 개념 보충 자료로만 표시했습니다. 선정 영상 몇 편에서 확인한 정성 자료이며, 전체 학생의 난점 발생 빈도나 대표성을 뜻하지 않습니다.
개념이 문제로 바뀌는 과정
대표 예제
x²+y²-4x+6y-12=0의 중심과 반지름을 구하시오.
- x²-4x=(x-2)²-4, y²+6y=(y+3)²-9이다.
- (x-2)²+(y+3)²=25로 정리된다.
- 중심은 (2,-3), 반지름은 5이다.
답: 중심 (2,-3), 반지름 5
원 x²+y²=10과 직선 x+y=k가 접할 때 k²을 구하시오.
- 중심 (0,0)에서 x+y-k=0까지 거리는 |k|/√2이다.
- 반지름 √10과 같으므로 |k|/√2=√10이다.
- |k|=√20이므로 k²=20이다.
답: 20
원 x²+y²=25 위의 점 (3,4)에서의 접선 방정식을 구하시오.
- 3²+4²=25이므로 점은 원 위에 있다.
- xx₁+yy₁=r²에 (x₁,y₁)=(3,4)를 넣는다.
- 3x+4y=25이다.
답: 3x+4y=25
처음 보는 문제에서도 쓰는 순서
풀이 절차
- 1완전제곱식으로 중심과 반지름을 찾습니다.
- 2그림에 중심·직선·접점을 표시합니다.
- 3거리와 반지름 또는 판별식으로 교점 개수를 판단합니다.
틀린 이유를 다음 문제에 남기지 않기
오개념 교정
원의 식 안 부호와 중심 좌표의 부호를 같게 읽기
고치는 습관: 완전제곱식으로 중심과 반지름을 찾습니다.r²을 반지름으로 답하기
고치는 습관: 그림에 중심·직선·접점을 표시합니다.읽은 뒤 확인하기
혼자 공부하는 순서
01일반형을 표준형으로 고친다.
02중심과 반지름의 부호를 정확히 읽는다.
03중심-직선 거리로 교점 수를 판단한다.
04접점에서 반지름과 접선이 수직임을 사용한다.